问询：y(t)=x(αt)（0<α<1，t>0）及x(t/2)系统的因果性与无记忆性

嘿，咱们一步步来拆解你的问题，核心得紧扣因果系统和无记忆系统的定义来分析：

先明确两个核心定义：

• 因果系统：对于任意时刻t，输出y(t)仅依赖当前或过去的输入（即x(τ)，其中τ ≤ t），绝不依赖未来的输入（τ > t）。
• 无记忆系统：输出y(t)仅由**同一时刻t**的输入x(t)决定，和其他任何时刻的输入都无关。

现在分析y(t) = x(t/2)：

1. 是否为无记忆系统？
   显然不是。比如当t=2时，y(2)=x(1)，输出依赖的是t=1时刻的输入，而非t=2的；当t=-2时，y(-2)=x(-1)，同样依赖t=-1的输入。所有t≠0的情况，输出都和t时刻的输入无关，不符合无记忆系统的要求。

2. 是否为因果系统？
   要覆盖所有t的取值来判断：

   • 当t ≥ 0时，t/2 ≤ t，此时y(t)依赖的是x在t/2（过去或当前）的输入，符合因果性；
   • 当t < 0时，t/2 > t（比如t=-2，t/2=-1，-1 > -2），此时y(t)依赖的是x在未来时刻的输入，违反了因果系统的定义。

   因为存在t使得输出依赖未来输入，所以这个系统是非因果系统。

同样用因果系统的定义来分析：
对于任意t：

• 当t ≥ 0时，αt ≤ t（因为α<1，正数乘小于1的数会变小），此时y(t)依赖的是x在αt（过去或当前）的输入，没问题；
• 当t < 0时，αt > t（负数乘小于1的正数，不等号反转，比如t=-1，α=0.5，αt=-0.5 > -1），此时y(t)依赖的是x在未来时刻的输入，违反了因果性要求。

只要存在任意一个t让输出依赖未来输入，系统就不是因果的，所以这个系统是非因果系统。

本质是看变换后的时刻αt和原时刻t的大小关系：

• 对于正数t，αt < t，依赖过去输入，符合因果；
• 对于负数t，αt > t，依赖未来输入，违反因果；
• 只要覆盖所有t的情况，就会发现这类系统总会存在依赖未来输入的情况，因此都是非因果系统。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Anas Yousef