关于非模1复数无限阶证明充分性的专业问询

最近在做一道复数相关的证明题，我自己用反证法写了部分步骤，但不确定这个证明思路是否足够严谨——毕竟教授课上用的是完全不同的证明路径，心里有点没底，想请教下大家。

题目内容 #

设 $z \in \mathbb{C}^{*}$，若 $|z| \neq 1$，证明 $z$ 的阶为无限。

我的证明思路（反证法） #

首先把复数 $z$ 写成极坐标形式：$z = r\cos(\theta)+r\sin(\theta)=r\operatorname{cis}(\theta)$，其中 $r> 0, \theta \in [0, 2\pi]$。因为题目给出 $|z| \neq 1$，所以显然 $r \neq 1$。

接下来我用反证法假设：如果 $z$ 的阶是有限的，那么必然存在正整数 $m$，使得 $z^{m}=1$，也就是 $\exists m \in \mathbb{Z}_{+} \text{ s.t. } z^{m}=1$。然后我打算接着观察……（后续步骤尚未完成）

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Harry