验证教材命题：由向量空间度量构造赋范空间的条件

我最近在啃一本教材，里面作者提出了这么一个命题，我正试着验证它：

给定向量空间$X$上的度量$d$，当满足以下两个条件时，定义$||x|| = d(x,0)$可构成$X$上的范数：

1. 平移不变性：对任意向量$x,y,z \in X$，有$d(x,y) = d(x+z,y+z)$；
2. 齐次性：对任意向量$x,y \in X$和标量$a$，有$d(ax,ay) = |a|d(x,y)$。

我的初步尝试是从反向推导入手的：假设度量$d$确实能让$||x|| := d(x,0)$成为一个有效的范数，那我们可以用这个范数反过来定义一个新的度量$d'$：

d'(x,y) := ||x-y||

不过推导到这里还没完成，想问问大家有没有什么思路或者我目前的方向有没有问题？

内容的提问来源于stack exchange，提问作者trynalearn