基于期望最大化（EM）算法的 urn 问题技术问询

最近我在做一个有意思的思维实验，具体场景是这样的：

• 有一个urn容器，里面装了N个带唯一编号的球，每个球非红即绿——但我们不知道每个球的真实颜色
• 配套有M个带编号的颜色检测器，把球放进去就能得到颜色结果，但这些检测器存在误判情况，对应的两个条件概率是明确的：
  • 当放入的是红球时，检测器输出“红色”的概率为 $P(\text{detector says red}|\text{ball inserted is red})$
  • 当放入的是绿球时，检测器输出“绿色”的概率为 $P(\text{detector says green}|\text{ball inserted is green})$

我打算用期望最大化（EM）算法来解决这个问题——也就是推断每个球的真实颜色，同时如果检测器的误判概率初始值不确定的话，还能同步优化这些概率的估计。

这里EM算法的核心流程其实很清晰：

1. E步（期望步骤）：基于当前对每个球颜色的概率估计，以及检测器的误判概率，计算每个球在所有检测器输出结果的条件下，属于红色或绿色的后验概率。
2. M步（最大化步骤）：利用E步得到的后验概率，重新估计每个检测器的误判概率，同时更新每个球颜色的概率估计（比如直接取后验概率更高的颜色作为当前最优推断）。

不断重复E步和M步，直到参数（球的颜色概率、检测器误判概率）收敛，就能得到我们想要的结果了。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jay