柯西问题解的最大定义区间求解及分离变量解推导验证

针对你给出的柯西问题：

$y'+(y^2+y-3/4)\cos x=0$，初始条件 $y(0)=y_0$

咱们来一步步拆解求解思路和最大定义区间的确定方法：

已知的常解情况 #

• 当 $y_0=1/2$ 或 $y_0=-3/2$ 时，解为常函数，定义域是全体实数 $\mathbb{R}$。这两个值是方程的平衡解——代入方程左边后直接得0，天然满足微分方程。

分离变量法的适用性 #

对于其他初始值（即 $y_0 \neq 1/2$ 且 $y_0 \neq -3/2$），完全可以用分离变量法求解！因为此时 $y^2+y-3/4=(y-1/2)(y+3/2) \neq 0$，方程可以变形为标准的可分离变量形式：
$$\frac{dy}{y^2+y-3/4} = -\cos x , dx$$
接下来就是常规的分式分解+积分操作了。

解的推导与整理 #

对左边的分式做部分分解：
$$\frac{1}{(y-1/2)(y+3/2)} = \frac{1}{2}\left( \frac{1}{y-1/2} - \frac{1}{y+3/2} \right)$$
两边积分后整理，就能得到你推导的绝对值形式解：
$$\left| \frac{2y(x)-1}{2y(x)+3} \cdot \frac{2y_0+3}{2y_0-1} \right| = e^{-2\sin x}$$
进一步整理成显式的 $y(x)$ 表达式：
$$y(x)=-\frac{3}{2}+\frac{2y_0+3}{2y_0+3-(2y_0-1)e^{-2\sin x}}$$

最大定义区间的确定 #

要找解的最大定义区间，核心就是避免分母为0——也就是找到所有使得下式不成立的 $x$：
$$2y_0+3-(2y_0-1)e^{-2\sin x} = 0$$
先解这个等式，变形得：
$$e^{-2\sin x} = \frac{2y_0+3}{2y_0-1}$$
两边取自然对数：
$$-2\sin x = \ln\left( \frac{2y_0+3}{2y_0-1} \right)$$
整理为：
$$\sin x = -\frac{1}{2}\ln\left( \frac{2y_0+3}{2y_0-1} \right)$$
记右边的常数为 $C = -\frac{1}{2}\ln\left( \frac{2y_0+3}{2y_0-1} \right)$，接下来分两种情况讨论：

1. 当 $|C| > 1$ 时：方程 $\sin x = C$ 没有实数解，这意味着分母永远不会为0，解的最大定义区间就是全体实数 $\mathbb{R}$。
2. 当 $|C| \leq 1$ 时：方程 $\sin x = C$ 有无穷多解，形式为 $x = \arcsin C + 2k\pi$ 或 $x = \pi - \arcsin C + 2k\pi$（$k \in \mathbb{Z}$）。此时解的最大定义区间是包含 $x=0$ 的、介于最近的两个零点之间的开区间。

举个实际例子：当 $y_0=1$ 时，计算得 $C = -\frac{1}{2}\ln\left( \frac{2+3}{2-1} \right) = -\frac{1}{2}\ln5 \approx -0.8047$，$|C| < 1$。方程 $\sin x = -\frac{\ln5}{2}$ 的解是 $x = \arcsin(-\frac{\ln5}{2}) + 2k\pi$ 和 $x = \pi - \arcsin(-\frac{\ln5}{2}) + 2k\pi$。包含0的最大区间就是 $(\arcsin(\frac{\ln5}{2}) - \pi, \pi - \arcsin(\frac{\ln5}{2}))$——这个区间包含0，且两端是离0最近的两个分母零点。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Giulia B.