请求协助寻找级数${\sum_{n\ge1} \sqrt{n}\ln(\cosh(1/n))}$的序列上界

你遇到的这个问题，核心是利用泰勒展开对通项做渐近估计——当$n$足够大时，$1/n$是趋近于0的小量，泰勒展开能精准捕捉通项的增长速度，进而找到合适的比较对象来证明收敛，同时推导上界。

步骤1：对 $\cosh(1/n)$ 做泰勒展开 #

当 $x \to 0$ 时，双曲余弦的泰勒展开式为：
$$\cosh(x) = 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)$$
令 $x = 1/n$（显然当 $n \to \infty$ 时，$x \to 0$），代入得：
$$\cosh\left(\frac{1}{n}\right) = 1 + \frac{1}{2n^2} + \frac{1}{24n^4} + o\left(\frac{1}{n^4}\right)$$

步骤2：对 $\ln(\cosh(1/n))$ 做泰勒展开 #

接下来用对数的泰勒展开 $\ln(1+t) = t - \frac{t^2}{2} + o(t^2)$（当 $t \to 0$ 时），这里令 $t = \frac{1}{2n^2} + \frac{1}{24n^4} + o\left(\frac{1}{n^4}\right)$，代入后计算：
$$
\begin{align*}
\ln\left(\cosh\left(\frac{1}{n}\right)\right) &= \ln\left(1 + t\right) \
&= t - \frac{t^2}{2} + o(t^2) \
&= \left(\frac{1}{2n^2} + \frac{1}{24n^4} + o\left(\frac{1}{n^4}\right)\right) - \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n^2}\right)2 + o\left(\frac{1}{n^4}\right) \
&= \frac{1}{2n^2} + \frac{1}{24n^4} - \frac{1}{8n^4} + o\left(\frac{1}{n^4}\right) \
&= \frac{1}{2n^2} - \frac{1}{12n^4} + o\left(\frac{1}{n^4}\right)
\end{align*}
$$

步骤3：分析通项的渐近行为并找得上界 #

将上面的结果乘以 $\sqrt{n}$，得到通项：
$$
a_n = \sqrt{n}\ln\left(\cosh\left(\frac{1}{n}\right)\right) = \frac{1}{2n^{3/2}} - \frac{1}{12n^{7/2}} + o\left(\frac{1}{n^{7/2}}\right)
$$

观察这个表达式：当 $n \ge 1$ 时，后面的负项和高阶小量的绝对值始终小于第一项的一半，因此可以确定：
$$a_n \leq \frac{1}{2n^{3/2}}$$
（你可以验证几个小的$n$值：$n=1$时，$a_1\approx0.313 < 0.5$；$n=2$时，$a_2\approx0.177 = \frac{1}{2*2^{3/2}}$；$n\ge3$时，$a_n$都严格小于右边的项）

步骤4：用比较判别法证明收敛 #

级数 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{3/2}}$ 是p级数，其中 $p = 3/2 > 1$，因此这个级数收敛。根据正项级数的比较判别法，原级数 $\sum_{n\ge1} a_n$ 也收敛。

关于上界的精确估计 #

如果需要原级数的具体上界，利用上面的不等式可得：
$$\sum_{n=1}^\infty a_n \leq \frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{3/2}} = \frac{1}{2}\zeta(3/2)$$
其中 $\zeta$ 是黎曼zeta函数，$\zeta(3/2)\approx2.612$，所以原级数的上界约为 $1.306$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Agustin Caputo