关于圆周之并的拓扑空间X：求证其可分性与可度量化

嘿，我来帮你把这个拓扑问题的证明思路理清楚，分两部分来拆解：先证可分性，再证可度量化～

你之前想到找可数稠密集的思路完全正确，我们可以这样构造具体的可数稠密集：

• 对每个正整数n，考虑圆周$C_n$：它的圆心是$(1/n, 0)$，半径为$1/n$，所以$C_n$上的点可以表示为$(1/n + (1/n)\cos\theta, (1/n)\sin\theta)$，其中$\theta\in[0,2\pi)$。
• 对每个$C_n$，取$D_n$为所有满足$\theta=2\pi p/q$（$p,q$是整数，$q>0$）的点构成的集合——简单说就是$C_n$上所有「有理角度」的点。
• 令$D=\bigcup_{n=1}^\infty D_n$，这个集合是可数的：因为每个$D_n$对应可数个整数对$(p,q)$，而可数个可数集的并依然是可数集。

接下来验证D是X的稠密集：
任取X中的非空开集U，根据子空间拓扑的定义，存在$\mathbb{R}^2$中的开集V，使得$U=X\cap V$。由于U非空，V必然与某个$C_n$相交，而$C_n\cap V$是$C_n$上的一段非空开弧（因为$C_n$作为$\mathbb{R}^{2$的子空间，开集就是和$\mathbb{R}}2$开集的交集，对应圆周上的开弧）。
而$D_n$中的点在$C_n$上是稠密的（有理角度的点能逼近圆周上任意点），所以这段开弧里一定包含$D_n$中的某个点，这个点自然属于$U=X\cap V$。也就是说，X中任何非空开集都和D相交，因此D是X的可数稠密集，X是可分空间。

这个其实可以借助$\mathbb{R}^2$的可度量化性质来推导：
X是$\mathbb{R}^{2$的子空间，而$\mathbb{R}}2$本身是可度量化的（比如用欧几里得度量$d((x_1,y_1),(x_2,y_2))=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)2}$）。对于可度量化空间的子空间，我们只需要把母空间的度量限制在X上，得到X上的度量$d_X(x,y)=d(x,y)$（即对X中任意两点，直接用$\mathbb{R}^2$里的欧几里得距离）。

接下来验证这个度量诱导的拓扑就是X上的子空间拓扑：

• 对X中任意点x和$\epsilon>0$，$d_X$下的开球$B_{d_X}(x,\epsilon)$就是$\mathbb{R}^2$中的开球$B_d(x,\epsilon)$与X的交集，这正好是子空间拓扑中的开集。
• 反过来，子空间拓扑中的任意开集U都是X与$\mathbb{R}^{2$中某个开集V的交集，而V可以表示为$\mathbb{R}}2$中若干开球的并，因此U就是X与这些开球交集的并，也就是$d_X$下若干开球的并，属于度量拓扑中的开集。

这说明$d_X$诱导的拓扑和X上的子空间拓扑完全一致，因此X是可度量化空间。

另外补充一下题目给出的「每个圆周均为闭集而非开集」这个条件，它主要是帮我们理解X的拓扑结构（比如X不是离散空间），但在上述两个证明中不需要直接用到，不过也能侧面验证我们的思路没问题——比如如果$C_n$是开集的话X可能是离散的，但这里不是，不过不影响可分和可度量化的结论。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Gauss the Mauss