验证$C^1([0,1])$空间上$(f,g)=\int_0^1(f\overline g+f'\overline {g'})$是否为内积

首先我们明确要证明的核心：这个积分形式的定义确实是$C^1([0,1])$（即[0,1]上连续可微复值函数空间）上的一个内积，第一步就是要确认它是良定义的——也就是这个积分对任意$f,g\in C^1([0,1])$都存在且是有限复数。

你的初始推导拆分是完全正确的：
$$(f,g)=\int_0^1\left(f\overline{g}+f'\overline{g'}\right)(t)dt = \int_0^1f(t)\overline{g(t)}dt + \int_0^1f'(t)\overline{g'(t)}dt$$

接下来补充完整良定义的证明逻辑：

• 因为$f,g\in C^1([0,1])$，所以$f$、$g$以及它们的导函数$f'$、$g'$都是[0,1]上的连续函数，它们的复共轭$\overline{g}$、$\overline{g'}$也都是连续函数（连续函数的复共轭依然保持连续性）。
• 连续函数的乘积$f\overline{g}$和$f'\overline{g'}$也都是[0,1]上的连续函数（连续函数的乘积运算保持连续性）。
• 闭区间[0,1]上的连续函数一定是黎曼可积的，并且积分结果是有限的复数。
• 两个有限复数的和依然是有限复数，因此$(f,g)$确实是一个确定的有限复数，这就证明了这个定义是良定义的。

如果要继续验证内积的其他公理，也可以顺着这个思路推进：

• 共轭对称性：$(g,f)=\int_0^1(g\overline{f}+g'\overline{f'})dt = \overline{\int_0^1(\overline{g}f+\overline{g'}f')dt} = \overline{(f,g)}$，这里用到了积分与复共轭可交换的性质，以及$\overline{\overline{h}}=h$的基本性质。
• 对第一个变量的线性性：对任意复数$\alpha,\beta$，$(\alpha f+\beta h,g)=\int_0^1((\alpha f+\beta h)\overline{g}+(\alpha f+\beta h)'\overline{g'})dt = \alpha\int_0^1f\overline{g}dt + \beta\int_0^1h\overline{g}dt + \alpha\int_0^1f'\overline{g'}dt + \beta\int_0^1h'\overline{g'}dt = \alpha(f,g)+\beta(h,g)$，完全符合线性要求。
• 正定性：$(f,f)=\int_0^1(|f|2+|f'|^{2)dt$，被积函数是两个非负连续函数的和，积分结果非负；当且仅当$|f(t)|}2+|f'(t)|^2=0$对所有$t\in[0,1]$成立时，积分等于0，这意味着$f(t)\equiv0$且$f'(t)\equiv0$，即$f$是零函数，满足正定性的要求。

你的初始推导方向完全没问题，后续的证明逻辑也可以参考上面的内容补全~

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jeremy Jeffrey James