如何证明整数有界递增序列{aₙ}最终为常数？

咱们可以把你已经掌握的结论串起来，一步步完成证明：

回顾已知条件 #

• {aₙ}是整数构成的有界递增序列：
  1. 递增性：对任意正整数n，都有 (a_n \leq a_{n+1})；
  2. 有界性：存在整数M（因为序列元素都是整数，上界可以取整数），使得对所有n，(a_n \leq M)；
• 已证结论：该序列存在极限L，且L是整数。

核心推导：利用极限定义+整数性质 #

根据数列极限的定义：对于任意给定的正数ε，总能找到一个正整数N，当n > N时，有 (|a_n - L| < ε)。

这里我们特意选取ε=1/2（这个选择是关键，因为整数之间的差不可能是小于1的正数）：

• 当n > N时，(|a_n - L| < 1/2)；
• 但(a_n)和L都是整数，两个整数的差的绝对值只能是0、1、2……这些非负整数；
• 小于1/2的非负整数只有0，因此必然有(|a_n - L| = 0)，也就是(a_n = L)。

结合递增性证明后续项全为常数 #

因为序列是递增的，对于所有k > N：

• (a_k \geq a_{N+1} = L)（由递增性可得）；
• 同时，L是递增序列的极限，也就是序列的上确界，所以对所有k，(a_k \leq L)；
• 因此只能有(a_k = L)，即从第N+1项开始，所有项都等于常数L。

这样就证明了当n足够大时，序列{aₙ}为常数。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Hisoka Moroh