求证：若sin⁻¹(x)+sin⁻¹(y)+sin⁻¹(z)=π/2，则x²+y²+z²+2xyz=1

嘿，我帮你把这个反三角函数的证明过程整理清楚，并且补上后续完整的推导步骤：

你的尝试步骤（已格式化）： #

1. 已知条件：
   $$\sin^{-1}(x) + \sin^{-1}(y) + \sin^{-1}(z) = \frac{\pi}{2}$$
2. 利用反三角函数加法公式$\sin^{-1}a + \sin^{-1}b = \sin^{{-1}\left(a\sqrt{1-b}2} + b\sqrt{1-a^{2}\right)$（注：该公式在$a}2 + b^2 \leq 1$或$ab \geq 0$的条件下成立，这里符合已知等式的场景），合并前两项：
   $$\sin^{{-1}\left(x\sqrt{1-y}2} + y\sqrt{1-x^2}\right) + \sin^{-1}(z) = \frac{\pi}{2}$$
3. 移项得到：
   $$\sin^{{-1}\left(x\sqrt{1-y}2} + y\sqrt{1-x^2}\right) = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1}(z)$$

后续完整推导： #

4. 对等式两边同时取正弦：
   • 左边：$\sin\left[\sin^{{-1}\left(x\sqrt{1-y}2} + y\sqrt{1-x^2}\right)\right] = x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2}$
   • 右边：$\sin\left(\frac{\pi}{2} - \sin^{-1}(z)\right) = \cos\left(\sin^{-1}(z)\right) = \sqrt{1-z^{2}$（因为$\sin}{-1}(z)$的取值范围是$[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$，余弦值非负）
     因此得到：
     $$x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2} = \sqrt{1-z^2}$$
5. 两边平方以消去根号：
   $$\left(x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2}\right)2 = (\sqrt{1-z^2})2$$
   展开左边并化简：
   $$x^2(1-y2) + 2xy\sqrt{(1-x^2)(1-y2)} + y^2(1-x2) = 1 - z^2$$
   $$x^2 - x^2y2 + y^2 - x^2y2 + 2xy\sqrt{(1-x^2)(1-y2)} = 1 - z^2$$
   $$x^2 + y^2 - 2x^2y2 + 2xy\sqrt{(1-x^2)(1-y2)} = 1 - z^2$$
6. 将不含根号的项移到等式右侧：
   $$2xy\sqrt{(1-x^2)(1-y2)} = 1 - z^2 - x^2 - y^2 + 2x^2y2$$
7. 两边再次平方，消去剩余根号：
   $$4x^2y2(1-x^2)(1-y2) = \left(1 - x^2 - y^2 - z^2 + 2x^2y2\right)^2$$
   展开左边：
   $$4x^2y2 - 4x^4y2 - 4x^2y4 + 4x^4y4$$
   展开右边（令$A = 1 - x^2 - y^2 - z^2$，则右边为$(A + 2x^2y2)^2$）：
   $$(1 - x^2 - y^2 - z²⁾2 + 4x^2y2(1 - x^2 - y^2 - z^2) + 4x^4y4$$
8. 两边同时减去$4x^4y4$，并将右侧的$4x^2y2(1 - x^2 - y^2 - z^2)$展开后移到左侧：
   $$4x^2y2 - 4x^4y2 - 4x^2y4 - 4x^2y2 + 4x^4y2 + 4x^2y4 + 4x^2y2z^2 = (1 - x^2 - y^2 - z²⁾2$$
   左侧化简后仅剩：
   $$4x^2y2z^2 = (1 - x^2 - y^2 - z²⁾2$$
9. 两边开平方，结合已知条件$\sin^{-1}(x) + \sin^{-1}(y) + \sin^{-1}(z) = \frac{\pi}{2}$，可知$x,y,z$的取值使得等式右侧为非负（且符号与$2xyz$一致），因此：
   $$2xyz = 1 - x^2 - y^2 - z^2$$
10. 移项整理后得到最终结论：
    $$x^2 + y^2 + z^2 + 2xyz = 1$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Sigma Limit