$\Bbb{R^3}$中正交基平面的$\text{perp}_\vec{n}(\vec{x})$等式证明咨询

嘿，你已经搞定了最关键的前置结论——$\text{perp}_\vec{n}(\vec{x})$确实落在$\vec{a},\vec{b}$张成的平面上，剩下的证明其实就是利用正交基的核心性质来推导，超直观的！

我们可以分四步完成完整证明：

• 第一步：写出投影向量的通用形式
  因为{$\vec{a},\vec{b}$}是平面的正交基，平面内任意向量都能唯一表示为$\lambda\vec{a} + \mu\vec{b}$（$\lambda,\mu$为实数）。而$\text{perp}\vec{n}(\vec{x})$是$\vec{x}$在该平面上的正交投影，所以必然存在这样的$\lambda,\mu$，使得：
  $$\text{perp}\vec{n}(\vec{x}) = \lambda\vec{a} + \mu\vec{b}$$

• 第二步：利用正交投影的性质求系数$\lambda$
  正交投影的核心性质是：$\vec{x} - \text{perp}_\vec{n}(\vec{x})$与平面内的所有向量正交，自然也和$\vec{a}$正交。因此：
  $$(\vec{x} - (\lambda\vec{a} + \mu\vec{b})) \cdot \vec{a} = 0$$
  展开这个点积：
  $$\vec{x}\cdot\vec{a} - \lambda(\vec{a}\cdot\vec{a}) - \mu(\vec{b}\cdot\vec{a}) = 0$$
  因为$\vec{a},\vec{b}$是正交基，$\vec{b}\cdot\vec{a}=0$，且$\vec{a}\cdot\vec{a}=||\vec{a}||^2$，代入后可得：
  $$\vec{x}\cdot\vec{a} = \lambda||\vec{a}||^2$$
  解得：
  $$\lambda = \frac{\vec{x}\cdot\vec{a}}{||\vec{a}||^2}$$

• 第三步：同理求系数$\mu$
  用完全一样的方法，让$\vec{x} - \text{perp}_\vec{n}(\vec{x})$与$\vec{b}$正交：
  $$(\vec{x} - (\lambda\vec{a} + \mu\vec{b})) \cdot \vec{b} = 0$$
  展开后利用$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$和$\vec{b}\cdot\vec{b}=||\vec{b}||^2$，可以得到：
  $$\mu = \frac{\vec{x}\cdot\vec{b}}{||\vec{b}||^2}$$

• 第四步：整合结论
  将求得的$\lambda$和$\mu$代入投影向量的通用形式，就得到了：
  $$\text{perp}_\vec{n}(\vec{x}) = \frac{\vec{x}\cdot\vec{a}}{||\vec{a}||^2}\vec{a} + \frac{\vec{x}\cdot\vec{b}}{||\vec{b}||^2}\vec{b}$$

本质上就是利用正交基下，正交投影的系数可以通过点积直接计算的特性，整个逻辑就闭环啦～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Skrrrrrtttt