特定反对称矩阵的无穷求和等式证明求助

嘿，我来帮你把矩阵幂次和泰勒级数的关联打通！先一步步梳理清楚：

第一步：确认矩阵的幂次计算 #

首先，先验证下你算的${\bf A}^{2n}$是否正确。给定反对称矩阵${\bf A} = \begin{bmatrix} 0 & \frac{1}{2} \ - \frac{1}{2} & 0 \end{bmatrix}$，先计算${\bf A}^2$：

${\bf A}^2 = {\bf A} \cdot {\bf A} = \begin{bmatrix} 0 & \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\left(\frac{1}{2}\right)^2 & 0 \\ 0 & -\left(\frac{1}{2}\right)^2 \end{bmatrix} = -\frac{1}{4}{\bf I}$

这里${\bf I}$是2阶单位矩阵。以此类推：

• ${\bf A}^{2n} = ({\bf A}²⁾n = \left(-\frac{1}{4}\right)^n {\bf I}$
• ${\bf A}^{4n} = ({\bf A}^{2n})2 = \left(\frac{1}{16}\right)^n {\bf I}$

第二步：将矩阵求和转化为标量级数 #

因为每一项${\bf A}^{4n} - 2{\bf A}^{2n}$都是单位矩阵的倍数（对角矩阵），所以整个矩阵求和可以拆成对角元素的标量求和，也就是：
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{{\bf A}^{4n} - 2{\bf A}^{2n}}{n} = \left( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(\frac{1}{16}\right)^n - 2\left(-\frac{1}{4}\right)^n}{n} \right) {\bf I}$$

第三步：用自然对数泰勒级数计算标量和 #

回忆自然对数的泰勒展开（收敛域$|x| < 1$）：
$$\ln(1 - x) = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$$
我们把求和拆成两个独立的级数：
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(\frac{1}{16}\right)^n}{n} - 2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(-\frac{1}{4}\right)^n}{n}$$

分别计算这两个部分：

1. 第一个级数：令$x = \frac{1}{16}$，则$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(\frac{1}{16}\right)^n}{n} = -\ln\left(1 - \frac{1}{16}\right) = -\ln\left(\frac{15}{16}\right) = \ln\left(\frac{16}{15}\right)$
2. 第二个级数：令$x = -\frac{1}{4}$，则$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(-\frac{1}{4}\right)^n}{n} = -\ln\left(1 - \left(-\frac{1}{4}\right)\right) = -\ln\left(\frac{5}{4}\right) = \ln\left(\frac{4}{5}\right)$

第四步：合并结果得到最终矩阵 #

把两个结果代入计算：
$$
\begin{align*}
\ln\left(\frac{16}{15}\right) - 2\ln\left(\frac{4}{5}\right) &= \ln\left(\frac{16}{15}\right) - \ln\left(\left(\frac{4}{5}\right)^2\right) \
&= \ln\left(\frac{16}{15}\right) - \ln\left(\frac{16}{25}\right) \
&= \ln\left( \frac{16/15}{16/25} \right) \
&= \ln\left(\frac{25}{15}\right) = \ln\left(\frac{5}{3}\right)
\end{align*}
$$

所以整个矩阵求和的结果就是$\ln\left(\frac{5}{3}\right){\bf I}$，也就是题目要求的：
$$\begin{bmatrix} \ln\frac{5}{3} & 0\ 0 & \ln\frac{5}{3} \end{bmatrix}$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user107224