为何特征函数可测？关于鲁丁《实分析与复分析》第11页的疑问

嘿，这个问题抓得很准！我们来一步步把逻辑理清楚：

首先，先回顾可测函数的核心定义：从可测空间$(X, \mathcal{M})$到拓扑空间$Y$的函数$f$是可测的，当且仅当对$Y$中的每一个开集$V$，原像$f^{-1}(V)$都属于$X$上的$\sigma$-代数$\mathcal{M}$（也就是$X$中的可测集）。

那回到你的问题：

1. ${0}$是不是${0,1}$中的开集？
   没错！这里${0,1}$是作为欧几里得空间$\mathbb{R}$的子空间来看的，子空间拓扑的开集是$\mathbb{R}$中开集与${0,1}$的交集。比如取$\mathbb{R}$中的开区间$(-0.5, 0.5)$，它和${0,1}$的交集就是${0}$，所以${0}$确实是${0,1}$中的开集。同理，${1}$也是开集，另外还有空集$\emptyset$和全集${0,1}$，这四个就是${0,1}$的所有开集。

2. 每个开集的原像是不是都可测？
   我们逐个验证：

   • $\chi_E^{-1}(\emptyset) = \emptyset$：空集是可测空间中默认的可测集；
   • $\chi_E^{-1}({0}) = X \setminus E$：因为$E$是可测集，而可测空间的$\sigma$-代数对补运算封闭，所以$X \setminus E$也是可测集；
   • $\chi_E^{-1}({1}) = E$：题目里已经明确$E$是$X$中的可测集；
   • $\chi_E^{-1}({0,1}) = X$：全空间$X$必然属于$\sigma$-代数，是可测集。

所以所有开集的原像都是$X$中的可测集，完全满足可测函数的定义，因此$\chi_E$是可测函数。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user398843