连续性与紧性：该映射是否为满射？（Rudin）

• 第一个问题：能否称f为X到Y的满射？
  绝对不行。满射的核心定义就是：对于集合Y中的每一个元素y，都存在至少一个X中的元素x，使得f(x)=y。你这里明确提到Y里的点$p=(1,0)$找不到X中的$t$对应，直接违反了满射的定义，所以$f$肯定不是X到Y的满射，最多只能说是X到Y的某个子集（即$f$的值域$f(X)$）的满射。

• 第二个问题：能否认为$f^{-1}$不连续的原因仅是X中不存在这样的$t$，导致点$p$未被映射到？
  这个说法本身就站不住脚，因为**逆函数$f^{{-1}$存在的前提是$f$是双射（既是单射又是满射）**。现在$f$连满射都不是，那$f}{-1}$作为从Y到X的函数根本就没有定义——毕竟Y里的$p$没有原像，你没法给$f^{{-1}(p)$指派一个X里的元素。连逆函数都不存在，自然谈不上“$f}{-1}$不连续”这件事。

  退一步说，如果我们把$f$限定为X到其值域$f(X)$的双射，这时候对应的逆函数$f^{-1}: f(X)→X$是存在的，但讨论它的连续性和Y里的$p$完全无关，因为$p$不在这个逆函数的定义域$f(X)$里。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Abdu Magdy