是否存在由实数a,b,c,d构成的4×4矩阵A满足det(A)=a⁴+b⁴+c⁴+d⁴？

嘿，这个问题的答案是肯定的——存在这样的4×4实矩阵！

先从你提到的2×2经典构造说起，它本质是把复数$a+bi$对应到实矩阵表示，行列式正好是复数模的平方：
$$A_2 = \begin{bmatrix} a & -b \ b & a \end{bmatrix}, \quad \det(A_2) = a^2 + b^2$$

对于4×4的情况，我们可以通过分块矩阵的思路，结合类似的“抵消交叉项”的技巧来构造。比如下面这个例子：
$$
A_4 = \begin{bmatrix}
\begin{bmatrix} a & -b \ b & a \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} c & d \ -d & c \end{bmatrix} \
\begin{bmatrix} -c & d \ -d & -c \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} a & b \ -b & a \end{bmatrix}
\end{bmatrix}
$$
你可以展开计算这个矩阵的行列式，最终结果正好是$a^4 + b^4 + c^4 + d^4$——分块结构让中间的交叉项在行列式展开时相互抵消，只剩下四个变量的四次方项。

从理论层面来说，$a^4 + b^4 + c^4 + d^4$是一个4次齐次实多项式，而4×4实矩阵的行列式全体构成的多项式集合包含所有这类正定4次齐次多项式，所以必然存在满足要求的矩阵。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Doubt