验证泊松分布样本均值估计量的无偏性并求解其方差

咱们来一步步分析这个推导的正确性，先明确背景：已知n个独立同分布的观测值${Y_1,...,Y_n}\overset{iid}\sim\mathcal{Poisson}(\mu)$，要验证估计量$\tilde\mu = \bar Y$（样本均值）是无偏估计量，并求解其方差。先看给出的推导过程：

$$\begin{align}\mathbb{Bias}(\tilde\mu) &= \mathbb E\tilde\mu-\mu\ &= \mathbb E(\tfrac 1n\sum_{i=1}^n\mathbb E(Y_i))-\mu\ &= \tfrac 1n\sum_{i=1}^n\mathbb E(Y_i)-\mu\&=\mu-\mu\&=0 \ \\ herefore\quad \mathbb{Var}(\mu) &=\mu&&\text{Since }{Y_1,...,Y_n}\overset{...}\end{align}$$

无偏性推导的正误分析 #

• 核心结论正确：$\tilde\mu$确实是$\mu$的无偏估计量，偏差为0。
• 中间步骤有小笔误：第二步里的$\mathbb E(\tfrac 1n\sum_{i=1}^n\mathbb E(Y_i))$写法有误，应该是$\mathbb E(\tfrac 1n\sum_{i=1}^n Y_i)$——我们是对样本均值求期望，而非对“每个$Y_i$期望的和”求期望。不过后续利用期望线性性展开成$\tfrac 1n\sum_{i=1}^n\mathbb E(Y_i)$的逻辑是对的，最终结果没问题。

方差推导的错误点 #

这部分问题比较明显：

1. 符号错误：应该计算的是估计量的方差$\mathbb{Var}(\tilde\mu)$，而非$\mathbb{Var}(\mu)$——$\mu$是固定的总体参数，它的方差为0，不可能等于$\mu$。
2. 结果错误：正确推导应该是这样的：
   因为$Y_i$独立同分布，根据方差的性质：
   $$\mathbb{Var}(\tilde\mu)=\mathbb{Var}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n Y_i\right)=\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}n\mathbb{Var}(Y_i)$$
   而Poisson分布的方差等于均值，即$\mathbb{Var}(Y_i)=\mu$，代入后得到：
   $$\mathbb{Var}(\tilde\mu)=\frac{1}{n^2}\cdot n\mu=\frac{\mu}{n}$$
   原推导直接给出$\mu$是错误的，漏掉了分母$n$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Chance Gordon