$\mathbf{A}\mathbf{X}$的分布是什么？关于$\mathbf{Y}=\mathbf{A}\mathbf{X}$的分布与协方差问询

嘿，咱们一步步拆解你的问题：

一、$\mathbf{Y}$ 的分布特性 #

首先明确：$\mathbf{Y}$ 一般不服从多元高斯分布，除非 $\mathbf{A}$ 是确定矩阵（此时高斯变量的线性组合仍为高斯），或者 $\mathbf{X}$ 是常数向量。

至于你提到的修正 $\chi^2$ 分布（非中心卡方）：答案是否定的。修正 $\chi^2$ 是独立高斯变量的平方和，而 $\mathbf{Y}$ 的每个分量 $\mathbf{Y}i = \sum{k=1}^n A_{ik}X_k$ 是两个独立高斯向量的内积，其边缘分布属于正态方差混合分布——简单说，条件于 $\mathbf{A}$ 的第 $i$ 行 $\mathbf{A}_i$，$\mathbf{Y}_i | \mathbf{A}_i$ 服从正态分布，但边缘分布是多个正态分布的混合，和卡方分布的形式完全不同。

二、$\mathbf{Y}$ 的协方差矩阵推导 #

协方差矩阵 $\text{Cov}(\mathbf{Y}) = \mathbb{E}\left[ (\mathbf{Y} - \mathbb{E}[\mathbf{Y}])(\mathbf{Y} - \mathbb{E}[\mathbf{Y}])^\top \right]$，我们可以通过元素展开或矩阵运算来推导：

1. 先求期望 $\mathbb{E}[\mathbf{Y}]$ #

因为 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{X}$ 相互独立，所以：
$$\mathbb{E}[\mathbf{Y}] = \mathbb{E}[\mathbf{A}\mathbf{X}] = \mathbb{E}[\mathbf{A}] \mathbb{E}[\mathbf{X}]$$

2. 协方差矩阵的元素形式 #

对于 $\text{Cov}(\mathbf{Y})$ 的第 $(i,j)$ 个元素 $\text{Cov}(Y_i, Y_j)$，展开后可得：
$$\text{Cov}(Y_i, Y_j) = \mathbb{E}[\mathbf{A}_i] \text{Cov}(\mathbf{X}) \mathbb{E}[\mathbf{A}_j]^\top + \text{tr}\left( \text{Cov}(\mathbf{A}_i, \mathbf{A}_j) \text{Cov}(\mathbf{X}) \right)$$
其中：

• $\mathbf{A}_i$ 是 $\mathbf{A}$ 的第 $i$ 行向量，$\mathbf{A}_j$ 是第 $j$ 行向量；
• $\text{Cov}(\mathbf{A}_i, \mathbf{A}_j)$ 是 $\mathbf{A}$ 的第 $i$ 行与第 $j$ 行的协方差矩阵（$n \times n$ 阶）；
• $\text{tr}(\cdot)$ 表示矩阵的迹运算。

3. 矩阵形式的简化 #

如果用整体矩阵表示，协方差矩阵可以写成：
$$\text{Cov}(\mathbf{Y}) = \mathbb{E}[\mathbf{A}] \text{Cov}(\mathbf{X}) \mathbb{E}[\mathbf{A}]^\top + \mathbb{E}\left[ \text{tr}\left( \mathbf{A}_i^\top \mathbf{A}_j \text{Cov}(\mathbf{X}) \right) \right]$$
对于大多数场景，元素形式的表达式已经足够清晰直观。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Orlando