若集合$A\sim B$（存在双射），是否可推出$B\sim A$？

当然可以推出！这正是集合等价关系的对称性性质，咱们顺着你开头的思路把证明补完整就很清晰了。

先明确题目定义：

在课堂上我们定义：集合$A$与集合$B$等价（记作$A \sim B$）当且仅当存在从$A$到$B$的双射函数$f \colon A \to B$。请问这是否能推出$B$与$A$等价（记作$B \sim A$）？

你的证明方向是对的，关键是利用双射函数的逆函数来构造$g: B \to A$，具体步骤如下：

1. 构造逆函数$g$
   已知$f: A \to B$是双射，根据双射的定义，$f$同时满足单射和满射：

   • 满射意味着对任意$b \in B$，至少存在一个$a \in A$使得$f(a) = b$；
   • 单射意味着这样的$a$是唯一的（如果有两个$a_1,a_2$满足$f(a_1)=f(a_2)=b$，则$a_1=a_2$）。

   基于此，我们定义$g: B \to A$为：对每个$b \in B$，$g(b)$就是那个唯一满足$f(a)=b$的$a$。

2. 验证$g$是单射
   取$B$中的元素$b_1$和$b_2$，假设$g(b_1) = g(b_2)$，设这个值为$a$。根据$g$的定义，$f(a) = b_1$且$f(a) = b_2$。因为$f$是单射，所以必然有$b_1 = b_2$，这就证明了$g$是单射。

3. 验证$g$是满射
   任取$a \in A$，令$b = f(a)$（因为$f$是从$A$到$B$的函数，所以$b \in B$）。根据$g$的定义，$g(b) = a$，也就是说$A$中的每一个元素都能被$g$映射到，所以$g$是满射。

既然$g: B \to A$是双射，根据集合等价的定义，就可以得出$B \sim A$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Carlos N