数论证明求助：若a|m且b|m，证明(ab)/gcd(a,b)|m

你好！看起来你已经在这个命题的证明上迈出了关键第一步，我来帮你把剩下的逻辑补全，把整个证明理顺。

待证命题回顾 #

设$a, b, c \in \mathbb{Z}, a\cdot b \neq 0$，需要证明：
$$ a \mid m \hspace{15px}\text{and}\hspace{15px} b \mid m \implies \frac{a \cdot b}{\text{gcd}(a, b)} \mid m $$

你的现有推导（整理版） #

你已经正确地用最大公约数做了分解：令$t = \text{gcd}(a, b)$，则存在整数$a', b'$满足：
$$ a = t\cdot a' \hspace{15px}\text{and}\hspace{15px} b = t \cdot b' $$
进一步推导目标式：
$$ \frac{a b}{\text{gcd}(a, b)} = \frac{t a' \cdot t b'}{t} = t a' b' $$
这里要注意一个核心关键性质：$a'$和$b'$是互质的（即$\text{gcd}(a', b') = 1$），因为我们已经把$a$和$b$的所有公共因子都提取到$t$里了，这是最大公约数定义带来的直接结论。

补全完整证明过程 #

接下来我们用这个互质性质继续推导：

1. 由$a \mid m$，结合$a = t a'$，可知存在整数$k$使得：
   $$ m = t a' k $$
2. 又因为$b \mid m$，而$b = t b'$，所以$t b' \mid t a' k$。两边同时除以$t$（$t$是正整数，整除关系不受影响），得到：
   $$ b' \mid a' k $$
3. 由于$\text{gcd}(a', b') = 1$，根据互质整数的核心整除规则：若两个互质的整数中，一个整除另一个与第三个数的乘积，那么它必然整除第三个数。因此这里可以推出：
   $$ b' \mid k $$
   也就是说存在整数$n$，使得$k = b' n$。
4. 将$k = b' n$代入$m = t a' k$中，得到：
   $$ m = t a' \cdot b' n = \left( t a' b' \right) n $$
5. 结合之前推导的$\frac{a b}{\text{gcd}(a, b)} = t a' b'$，可以改写为：
   $$ m = \frac{a b}{\text{gcd}(a, b)} \cdot n $$
   这就直接说明了$\frac{a b}{\text{gcd}(a, b)} \mid m$，命题得证。

如果中间哪一步还有疑问，随时可以再梳理哦～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user7802048