离散时间Logistic增长模型的平衡点稳定性分析求助

嘿，刚入门动力系统的话，离散Logistic模型绝对是练手的经典案例，咱们一步步拆解怎么判断它的不稳定点，核心方法是离散系统的线性化稳定性分析——说白了就是看迭代函数在平衡点处的导数绝对值：如果绝对值大于1，平衡点就是不稳定的；小于1则稳定；等于1的话得额外分析。

首先先明确咱们的迭代函数：
令 $f(N) = \lambda N\left(1-\frac{N}{K}\right)$，这就是模型里从$N_t$到$N_{t+1}$的映射。

第一步：计算迭代函数的导数 #

用基本的求导法则（乘积法则）就能算出：
$$f'(N) = \lambda\left(1 - \frac{2N}{K}\right)$$
推导过程很简单：把$f(N)$展开成$\lambda N - \frac{\lambda}{K}N^2$，求导后就是$\lambda - \frac{2\lambda N}{K}$，整理一下就是上面的形式。

第二步：逐个分析两个平衡点的稳定性 #

1. 平衡点$N^*=0$ #

把$N=0$代入导数：
$$f'(0) = \lambda$$

根据离散系统的稳定性规则：

• 当 $\boldsymbol{\lambda > 1}$ 时，$|f'(0)| = \lambda > 1$，这个平衡点是不稳定的；
• 当 $0 < \lambda < 1$ 时，$|f'(0)| < 1$，$N^*=0$是稳定的；
• 当 $\lambda=1$ 时，$f'(0)=1$，此时模型退化为$N_{t+1}=N_t$，所有点都是平衡点，属于中性稳定。

2. 平衡点$N^* = K\left(1-\frac{1}{\lambda}\right)$ #

先注意：这个平衡点有生物学意义（种群数量为正）的前提是 $\lambda > 1$，如果$\lambda \leq 1$，$N^*$非正，咱们可以不用考虑它。

把$N^$代入导数计算：
$$
\begin{align}
f'(N^) &= \lambda\left(1 - \frac{2}{K} \times K\left(1-\frac{1}{\lambda}\right)\right) \
&= \lambda\left(1 - 2\left(1-\frac{1}{\lambda}\right)\right) \
&= \lambda\left(-1 + \frac{2}{\lambda}\right) \
&= 2 - \lambda
\end{align}
$$

接下来分析稳定性：

• 当 $\boldsymbol{\lambda > 3}$ 时，$|2 - \lambda| = \lambda - 2 > 1$，这个正平衡点是不稳定的；
• 当 $1 < \lambda < 3$ 时，$|2 - \lambda| < 1$，$N^*$是稳定的；
• 当 $\lambda=3$ 时，$|2 - \lambda|=1$，此时需要用高阶项分析，会出现周期2的分岔，这个平衡点不再稳定，但属于临界情况。

总结不稳定点的情况 #

整理一下不同$\lambda$区间的不稳定平衡点：

• 当 $0 < \lambda < 1$：只有$N^*=0$稳定，正平衡点不存在；
• 当 $1 < \lambda < 3$：$N^{*=0$不稳定，正平衡点$N}*=K(1-1/\lambda)$稳定；
• 当 $\lambda > 3$：$N^{*=0$和正平衡点$N}*=K(1-1/\lambda)$都不稳定；
• 当 $\lambda=1$：所有点都是中性稳定的平衡点。

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