链式法则问题求解：已知f(x)、g(x)，求f(g(x))的导数

嘿，你问的这个问题太典型了！其实直接对$f(g(x))=\sqrt{4e^{x+4}+7}$求导是可行的，但链式法则绝对是更简便、不容易出错的方法，咱一步步拆解给你看：

方法一：用链式法则分步求导（推荐） #

链式法则的核心逻辑是：如果$h(x)=f(g(x))$，那么$h'(x)=f'(g(x)) \cdot g'(x)$——简单说就是「外层函数导数乘以内层函数导数」。

1. 先求外层函数$f(u)$的导数（设$u=g(x)$）
   $f(u)=\sqrt{4u+7}=(4u+7)^{1/2}$，用幂函数求导法则：

   f'(u) = \frac{1}{2}(4u+7)^{-1/2} \cdot 4 = \frac{2}{\sqrt{4u+7}}
   

2. 再求内层函数$g(x)$的导数
   $g(x)=e^{{x+4}$，指数函数求导规则是$e}{kx+b}$的导数为$k e^{kx+b}$，这里$k=1$，所以：

   g'(x) = e^{x+4}
   

3. 把$u=g(x)=e^{x+4}$代入$f'(u)$，再乘以$g'(x)$
   最终结果就是：

   f(g(x))' = \frac{2}{\sqrt{4e^{x+4}+7}} \cdot e^{x+4} = \frac{2e^{x+4}}{\sqrt{4e^{x+4}+7}}
   

方法二：直接对$f(g(x))$求导 #

直接对$\sqrt{4e^{x+4}+7}$求导，本质上还是用到了链式法则的思想，但步骤会更紧凑：
把$f(g(x))$写成$(4e^{x+4}+7){1/2}$，求导时先处理外层幂函数，再乘以内层的导数：

f(g(x))' = \frac{1}{2}(4e^{x+4}+7)^{-1/2} \cdot (4e^{x+4}+7)'

计算内层导数$(4e^{x+4}+7)'=4e{x+4}$，代入后得到的结果和方法一完全一致。

总结 #

两种方法结果相同，但链式法则分步拆解的方式更清晰，尤其是当复合函数的层次更多时，能避免因为嵌套太多而漏算导数项，所以更推荐用链式法则来求解这类问题~

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user517784