已知独立X~χ²ₙ₋₁、Y~Beta(n/2-1,n/2-1)，求Z=(2Y-1)√X的分布

我来一步步帮你搞定这个分布推导问题，过程很清晰，咱们慢慢来～

已知条件 #

首先明确题目给出的信息：

• 随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立
• $X\sim\chi^2_{(n-1)}$：自由度为 $n-1$ 的卡方分布，其概率密度函数为：
  $$
  f_X(x)=\frac{e^{{-\frac{x}{2}}x}{\frac{n-1}{2}-1}}{2^{\frac{n-1}{2}}\Gamma\left(\frac{n-1}{2}\right)}\mathbf1_{{x>0}}
  $$
• $Y\sim\text{Beta}\left(\frac{n}{2}-1,\frac{n}{2}-1\right)$：参数为 $\frac{n}{2}-1,\frac{n}{2}-1$ 的 Beta 分布，概率密度函数为：
  $$
  f_Y(y)=\frac{y^{{\frac{n}{2}-2}(1-y)}{\frac{n}{2}-2}}{B\left(\frac{n}{2}-1,\frac{n}{2}-1\right)}\mathbf1_{{0<y<1}}
  $$
  其中 Beta 函数与 Gamma 函数的关系为 $B(a,b)=\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}$，这里 $a=b=\frac{n}{2}-1$，所以 $B\left(\frac{n}{2}-1,\frac{n}{2}-1\right)=\frac{\Gamma^2\left(\frac{n}{2}-1\right)}{\Gamma(n-2)}$
• 由独立性，$(X,Y)$ 的联合概率密度函数为：
  $$
  f_{X,Y}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)=\frac{e^{{-\frac{x}{2}}x}{\frac{n-3}{2}}}{2^{{\frac{n-1}{2}}\Gamma\left(\frac{n-1}{2}\right)}\cdot\frac{\Gamma(n-2)y}{\frac{n}{2}-2}(1-y)^{{\frac{n}{2}-2}}{\Gamma}2\left(\frac{n}{2}-1\right)}\mathbf1_{{x>0,,,0<y<1}}
  $$

变量替换与雅可比行列式 #

我们要推导 $Z=(2Y-1)\sqrt{X}$ 的分布，选择辅助变量 $W=X$，构建变换：
$$
\begin{cases}
Z=(2Y-1)\sqrt{W} \
W=X
\end{cases}
$$

1. 反解原变量 #

从变换中解出 $x,y$ 关于 $z,w$ 的表达式：

• $x=w$，显然 $w>0$
• 由 $Z=(2Y-1)\sqrt{W}$，整理得 $y=\frac{1}{2}\left(1+\frac{z}{\sqrt{w}}\right)$
  结合 $y\in(0,1)$ 的约束，可得 $\frac{z}{\sqrt{w}}\in(-1,1)$，即 $|z|<\sqrt{w}$，也就是 $z^2 < w$

2. 计算雅可比行列式 #

写出变换的偏导数矩阵，计算行列式的绝对值：
$$
J = \begin{vmatrix}
\frac{\partial x}{\partial z} & \frac{\partial x}{\partial w} \
\frac{\partial y}{\partial z} & \frac{\partial y}{\partial w}
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
0 & 1 \
\frac{1}{2\sqrt{w}} & -\frac{z}{4w^{3/2}}
\end{vmatrix}
$$
行列式的绝对值为：
$$
|J| = \left|0 \cdot \left(-\frac{z}{4w^{3/2}}\right) - 1 \cdot \frac{1}{2\sqrt{w}}\right| = \frac{1}{2\sqrt{w}}
$$

联合密度变换 #

根据概率密度的变量替换公式，$(Z,W)$ 的联合密度为：
$$
f_{Z,W}(z,w) = f_{X,Y}(x,y) \cdot |J|
$$

将 $x=w$、$y=\frac{1}{2}\left(1+\frac{z}{\sqrt{w}}\right)$ 代入原联合密度，并乘以 $|J|$：
首先计算 $y(1-y)$ 的值：
$$
y(1-y)=\frac{1}{2}\left(1+\frac{z}{\sqrt{w}}\right)\cdot\frac{1}{2}\left(1-\frac{z}{\sqrt{w}}\right)=\frac{1}{4}\left(1-\frac{z^{2}{w}\right)=\frac{w-z}2}{4w}
$$
因此：
$$
y^{{\frac{n}{2}-2}(1-y)}{\frac{n}{2}-2} = \left(\frac{w-z^{2}{4w}\right)}{\frac{n}{2}-2} = \frac{(w-z²⁾{\frac{n}{2}-2}}{4^{{\frac{n}{2}-2}w}{\frac{n}{2}-2}}
$$

将所有项代入联合密度：
$$
\begin{align*}
f_{Z,W}(z,w) &= \frac{e^{{-\frac{w}{2}}w}{\frac{n-3}{2}}}{2^{\frac{n-1}{2}}\Gamma\left(\frac{n-1}{2}\right)} \cdot \frac{\Gamma(n-2)}{\Gamma^2\left(\frac{n}{2}-1\right)} \cdot \frac{(w-z²⁾{\frac{n}{2}-2}}{4^{{\frac{n}{2}-2}w}{\frac{n}{2}-2}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{w}} \cdot \mathbf1_{{w>z^2}} \
&= \frac{\Gamma(n-2)e^{{-\frac{w}{2}}(w-z}2)^{{\frac{n}{2}-2}}{2}{\frac{n-1}{2}+1} \cdot 4^{\frac{n}{2}-2} \cdot \Gamma\left(\frac{n-1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{n}{2}-1\right)} \cdot \mathbf1_{{w>z^2}}
\end{align*}
$$
这里我们约掉了 $w^{\frac{n-3}{2}} \cdot w^{-\frac{n}{2}-2} \cdot w^{{-\frac{1}{2}}=w}0=1$，简化了表达式。

求边缘密度 $f_Z(z)$ #

对 $w$ 从 $z^2$ 到 $+\infty$ 积分，得到 $Z$ 的边缘密度：
$$
f_Z(z) = \int_{z^2}{+\infty} f_{Z,W}(z,w) dw
$$

1. 积分变量替换 #

令 $t=w-z^2$，则 $w=t+z^2$，$dw=dt$，当 $w=z^2$ 时 $t=0$，$w\to+\infty$ 时 $t\to+\infty$，代入积分：
$$
\int_{0}^{+\infty} e^{-\frac{t+z2}{2}} t^{\frac{n}{2}-2} dt = e^{-\frac{z2}{2}} \int_{0}^{+\infty} e^{-\frac{t}{2}} t^{\frac{n}{2}-2} dt
$$

2. 计算伽马积分 #

利用伽马函数的定义 $\Gamma(s)=\int_{0}^{+\infty} e^{-u}u{s-1}du$，令 $u=\frac{t}{2}$，则 $t=2u$，$dt=2du$，积分变为：
$$
\int_{0}^{+\infty} e^{-u} (2u)^{\frac{n}{2}-2} \cdot 2du = 2^{{\frac{n}{2}-2+1}\Gamma\left(\frac{n}{2}-1\right)=2}{\frac{n}{2}-1}\Gamma\left(\frac{n}{2}-1\right)
$$

3. 化简系数 #

将积分结果代回 $f_Z(z)$，并化简系数：
首先处理指数项：$4^{{\frac{n}{2}-2}=2}{2(\frac{n}{2}-2)}=2^{n-4}$，因此分母中的指数部分：
$$
2^{\frac{n-1}{2}+1} \cdot 2^{n-4} = 2^{{\frac{n-1}{2}+1+n-4}=2}{\frac{3n-7}{2}}
$$

再代入伽马函数的倍增公式：$\Gamma(n-2)=\Gamma\left(2\left(\frac{n}{2}-1\right)\right)=2^{{2\left(\frac{n}{2}-1\right)-1}\frac{\Gamma\left(\frac{n}{2}-1\right)\Gamma\left(\frac{n-1}{2}\right)}{\sqrt{\pi}}=2}{n-3}\frac{\Gamma\left(\frac{n}{2}-1\right)\Gamma\left(\frac{n-1}{2}\right)}{\sqrt{\pi}}$

将其代入系数部分：
$$
\frac{\Gamma(n-2) \cdot 2^{{\frac{n}{2}-1}\Gamma\left(\frac{n}{2}-1\right)}{2}{\frac{3n-7}{2}} \cdot \Gamma\left(\frac{n-1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{n}{2}-1\right)} = \frac{2^{n-3} \cdot 2^{{\frac{n}{2}-1}}{2}{\frac{3n-7}{2}} \cdot \sqrt{\pi}} = \frac{2^{{\frac{2n-6+n-2}{2}}}{2}{\frac{3n-7}{2}} \cdot \sqrt{\pi}} = \frac{2^{{\frac{3n-8}{2}}}{2}{\frac{3n-7}{2}} \cdot \sqrt{\pi}} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}
$$

4. 最终密度函数 #

将系数和指数项结合，得到：
$$
f_Z(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z2}{2}} \quad (-\infty<z<+\infty)
$$

这正是标准正态分布 $N(0,1)$ 的概率密度函数！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者StubbornAtom