γ矩阵的旋协变导数：弯曲流形局域坐标下的通式查询
嘿，这个问题在旋量场的微分几何应用里挺常见的，我一步步给你推导并给出局域坐标系下的通式：
首先回顾核心定义：
- 旋协变导数：$\nabla^S_{\mu} = \partial_{\mu} + \omegaS_{\mu}$，其中旋联络$\omegaS_{\mu} = \frac{1}{4}\omega_{\mu}{\rho\sigma}\gamma_{\rho}\gamma_{\sigma}$，$\omega_{\mu}{\rho\sigma}$是洛伦兹联络（满足反对称性$\omega_{\mu}^{\rho\sigma} = -\omega_{\mu}^{\sigma\rho}$）。
- γ矩阵反对易关系：${\gamma{\mu},\gamma{\nu}} = 2g^{\mu\nu}$。
我们可以通过协变导数的莱布尼茨法则推导目标表达式：
考虑任意旋量场$\psi$，根据莱布尼茨法则，旋协变导数作用于$\gamma^{\nu}\psi$满足：
$$\nablaS_{\mu}(\gamma{\nu}\psi) = (\nablaS_{\mu}\gamma{\nu})\psi + \gamma{\nu}(\nablaS_{\mu}\psi)$$
另一方面，直接展开旋协变导数的定义：
$$\nablaS_{\mu}(\gamma{\nu}\psi) = (\partial_{\mu} + \omegaS_{\mu})\gamma{\nu}\psi = (\partial_{\mu}\gamma^{\nu})\psi + \gamma^{\nu}\partial_{\mu}\psi + \omegaS_{\mu}\gamma{\nu}\psi$$
同时，$\gamma{\nu}(\nablaS_{\mu}\psi) = \gamma^{\nu}\partial_{\mu}\psi + \gamma{\nu}\omegaS_{\mu}\psi$。
将这两个表达式联立，消去$\gamma^{\nu}\partial_{\mu}\psi$项，得到核心关系式：
$$\nablaS_{\mu}\gamma{\nu} = \partial_{\mu}\gamma^{\nu} + [\omega^S_{\mu}, \gamma^{\nu}]$$
接下来化简对易子项$[\omega^S_{\mu}, \gamma^{\nu}]$：
代入旋联络表达式后，利用γ矩阵反对易关系展开对易子：
$$[\gamma_{\rho}\gamma_{\sigma}, \gamma^{\nu}] = \gamma_{\rho}\gamma_{\sigma}\gamma^{\nu} - \gamma^{\nu}\gamma_{\rho}\gamma_{\sigma} = 2\left(g_{\sigma}{}^{\nu}\gamma_{\rho} - g_{\rho}{}^{\nu}\gamma_{\sigma}\right)$$
将结果代回对易子，结合洛伦兹联络的反对称性$\omega_{\mu}^{\rho\nu} = -\omega_{\mu}^{\nu\rho}$，最终化简得到：
$$[\omega^S_{\mu}, \gamma^{\nu}] = \omega_{\mu}{}{\nu}_{\sigma}\gamma{\sigma}$$
局域洛伦兹坐标系下的特殊情况
在局域洛伦兹坐标系中（标架场$e^{\mu}{}{a} = \delta^{\mu}{}{a}$，度规$g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu}$），黎曼联络$\Gamma{\rho}_{\mu\nu}=0$，洛伦兹联络$\omega_{\mu}{\rho\sigma}=0$，且γ矩阵为常数（$\partial_{\mu}\gamma^{\nu}=0$），因此：
$$\nablaS_{\mu}\gamma{\nu} = 0$$
一般弯曲坐标系下的通式
对于一般弯曲坐标系，$\gamma^{\nu} = e{\nu}{}_{a}\gamma{a}$（$\gamma{a}$为局域洛伦兹系的常数γ矩阵，$e{\nu}{}{a}$为标架场），结合标架场的相容性条件$\nabla{\mu}e^{\nu}{}{a}=0$，最终可将通式化简为：
$$\nablaS_{\mu}\gamma{\nu} = \Gamma{\nu}_{\mu\rho}\gamma{\rho}$$
其中$\Gamma^{\nu}{\mu\rho}$是黎曼联络（克里斯托费尔符号）。
内容的提问来源于stack exchange，提问作者phydev
