技术问询：单连通代数群的乘积是否仍为单连通？

你的猜想完全正确——单连通代数群的乘积确实还是单连通的，下面结合你引用的Milne定义来一步步梳理证明思路：

首先明确你给出的核心定义：

连通群概形是单连通的，当且仅当每个从连通群概形到它的乘法同源都是同构。（引自Milne《代数群》一书第388页）

证明步骤 #

设 (G_1) 和 (G_2) 是两个单连通代数群，令它们的乘积为 (G = G_1 \times G_2)。我们需要验证：对任意连通群概形 (H)，如果存在同源 (f: H \to G)，那么 (f) 一定是同构。

• 拆分映射的分量
  把乘积映射 (f) 拆成到两个因子的投影分量：(f = (f_1, f_2))，其中 (f_1: H \to G_1) 对应到第一个因子的映射，(f_2: H \to G_2) 对应到第二个因子的映射。

• 确认分量映射的满性
  因为 (f) 是同源，根据定义它是满的群同态且核有限。由 (f) 的满性可以直接推出 (f_1) 和 (f_2) 也都是满同态：

  • 对任意 (g_1 \in G_1)，必然存在 (h \in H) 使得 (f(h) = (g_1, g_2))（其中 (g_2 \in G_2)），因此 (f_1(h) = g_1)，说明 (f_1) 是满的；
  • 同理可证 (f_2) 也是满的。

• 证明分量映射属于同源
  我们需要确认 (f_1) 是从 (H) 到 (G_1) 的同源：

  • 已经知道 (f_1) 是满同态，只需证明它的核 (\ker f_1) 有限。
  • 注意到 (\ker f = \ker f_1 \cap \ker f_2)，而根据同源定义，(\ker f) 是有限的。假设 (\ker f_1) 无限，由于 (H) 是连通群概形，(\ker f_1) 是 (H) 的连通闭子群，因此 (f_2(\ker f_1)) 是 (G_2) 的连通子群：
    • 如果 (f_2(\ker f_1)) 是仅含单位元的平凡子群，那么 (\ker f_1 \subseteq \ker f)，这与 (\ker f_1) 无限的假设矛盾；
    • 如果 (f_2(\ker f_1)) 是非平凡子群，那么 (f_2|{\ker f_1}: \ker f_1 \to f_2(\ker f_1)) 是满同态，其核恰好是 (\ker f)（有限）。此时把这个映射嵌入到 (G_2) 中，得到 (i \circ f_2|{\ker f_1}: \ker f_1 \to G_2)——这是一个从连通群概形到 (G_2) 的同源（满同态+核有限）。但 (G_2) 是单连通的，根据定义这个映射必须是同构，这意味着 (\ker f_1 \cong G_2)，但同构的核是平凡的，这又与 (\ker f) 有限但 (\ker f_1) 无限矛盾。
  • 因此 (\ker f_1) 必须有限，即 (f_1) 是同源；同理可证 (f_2) 也是同源。

• 利用单连通性推导同构
  因为 (G_1) 是单连通的，根据你给出的定义，任何从连通群概形到它的同源都是同构，所以 (f_1: H \to G_1) 是同构；同理，(f_2: H \to G_2) 也是同构。

• 得出乘积映射的同构性
  由于 (f = (f_1, f_2)) 是两个同构映射的乘积，因此 (f) 本身必然是同构。

综上，(G = G_1 \times G_2) 完全满足单连通的定义，也就是说单连通代数群的乘积仍为单连通。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Not a grad student