求满足给定方程组的所有非负三元实数组(x,y,z)

算力阿峰

2026-5-19

求解非负实数三元组$(x,y,z)$满足给定方程组

你已经迈出了关键的一步——把三个方程相加得到(x+y+z=3)，这个结论是后续推导的核心。接下来我们就基于这个条件，一步步找出所有非负实数解：

1. 验证平凡解

首先，你提到的((1,1,1))确实是方程组的解：
代入每个方程，左边(1^2 -1=0)，右边((1-1)^2=0)，三个方程都成立，这是一个有效解。

2. 证明这是唯一解

我们通过代数变形和对称性来推导：

步骤1：改写原方程

以第一个方程为例：
[
x^2 - y = (z-1)^2
]
展开右边并代入(y=3-x-z)（来自(x+y+z=3)），整理得：
[
x^2 - (3-x-z) = z^2 - 2z + 1
]
化简后：
[
(x-z)(x+z) + x + 3z - 4 = 0
]
再把(x+z=3-y)代入上式，进一步整理可得：
[
x - z + 1 = \frac{y}{2 - y}
]
这里需要注意：因为左边(x-z+1 \geq 0+0+1=1>0)，所以右边必须为正，即(2-y>0)，也就是(y<2)。同理可得(x<2)、(z<2)。

步骤2：对称推导其他式子

对另外两个方程做完全相同的处理，会得到对称的结果：
[
y - x + 1 = \frac{z}{2 - z}, \quad z - y + 1 = \frac{x}{2 - x}
]

步骤3：利用对称性证明变量相等

观察第一个和第二个式子：(\frac{y}{2-y} = x-z+1)，(\frac{z}{2-z}=y-x+1)。如果我们假设(\frac{y}{2-y} = \frac{z}{2-z})，交叉相乘后：
[
y(2-z) = z(2-y)
]
展开化简后直接得到(2y=2z)，即(y=z)。

同理，从(\frac{z}{2-z} = \frac{x}{2-x})可以推导出(z=x)，因此(x=y=z)。

步骤4：代入求和条件求解

把(x=y=z)代入(x+y+z=3)，立刻得到(x=y=z=1)。

3. 排除其他可能（如变量为0的情况）

假设某个变量为0，比如(x=0)，代入(x+y+z=3)得(y+z=3)，再代入第一个方程：
[
0^2 - y = (z-1)^2 \implies -y=(z-1)^2
]
左边是负数，右边是非负数，只有(y=0)且(z=1)，但此时(y+z=1≠3)，矛盾。同理(y=0)或(z=0)时也会出现类似矛盾，因此没有这类解。