同步抛硬币博弈：先获得X次正面的获胜概率计算

嘿，这个问题挺有意思的，咱们先从你提到的具体场景入手，再一步步推广到一般情况。

我们可以用两种方法来计算这个概率：状态递推法和枚举求和法，两种方法得到的结果一致，互相验证。

方法一：状态递推法 #

定义状态 P(i,j)：当前你已经抛出了 i 次正面，朋友抛出了 j 次正面，此时你最终获胜（先达成4次正面）的概率。

边界条件 #

• 当你已经达成4次正面（i=4），不管朋友当前有几次正面（只要j<2），你都赢了，所以 P(4,j)=1（j=0,1）。
• 当朋友已经达成2次正面（j=2），不管你当前有几次正面（只要i<4），你都输了，所以 P(i,2)=0（i=0,1,2,3）。

递推关系 #

每次你们同步抛硬币，会出现4种等概率的结果（各1/4）：

1. 你正，朋友正 → 状态变为 (i+1,j+1)
2. 你正，朋友反 → 状态变为 (i+1,j)
3. 你反，朋友正 → 状态变为 (i,j+1)
4. 你反，朋友反 → 状态不变，仍为 (i,j)

把这些情况代入概率公式，整理后得到：

3*P(i,j) = P(i+1,j+1) + P(i+1,j) + P(i,j+1)
P(i,j) = [P(i+1,j+1) + P(i+1,j) + P(i,j+1)] / 3

从边界往回计算 #

我们从最接近边界的状态开始算：

• P(3,1) = [P(4,2)+P(4,1)+P(3,2)]/3 = (0+1+0)/3 = 1/3
• P(3,0) = [P(4,1)+P(4,0)+P(3,1)]/3 = (1+1+1/3)/3 = 7/9
• P(2,1) = [P(3,2)+P(3,1)+P(2,2)]/3 = (0+1/3+0)/3 = 1/9
• P(2,0) = [P(3,1)+P(3,0)+P(2,1)]/3 = (1/3+7/9+1/9)/3 = 11/27
• P(1,1) = [P(2,2)+P(2,1)+P(1,2)]/3 = (0+1/9+0)/3 = 1/27
• P(1,0) = [P(2,1)+P(2,0)+P(1,1)]/3 = (1/9+11/27+1/27)/3 = 5/27
• P(0,1) = [P(1,2)+P(1,1)+P(0,2)]/3 = (0+1/27+0)/3 = 1/81
• 最终的初始状态 P(0,0) = [P(1,1)+P(1,0)+P(0,1)]/3 = (1/27+5/27+1/81)/3 = 19/243

方法二：枚举求和法 #

换个思路：你获胜的情况是，存在某一轮 k≥4，在第k轮你刚好抛出第4次正面，且朋友在前k轮中正面次数≤1（还没达成2次）。

对应的概率公式为：

P = Σ（从k=4到∞）[C(k-1,3)*(1/2)^k] * [C(k,0)*(1/2)^k + C(k,1)*(1/2)^k]

其中：

• C(k-1,3)*(1/2)^k 是你在第k轮刚好得到第4次正面的概率（前k-1次3次正，第k次正）。
• [C(k,0)+C(k,1)]*(1/2)^k 是朋友在前k轮中正面次数≤1的概率。

展开并计算这个无穷级数，最终得到的结果也是 19/243，和递推法一致。

我们可以把上面的思路推广到任意X和Y，记这个概率为 P(X,Y)。

状态递推框架 #

同样定义 P(i,j)：当前你有i次正面，朋友有j次正面时，你最终获胜的概率。

边界条件 #

• P(X,j) = 1（对所有 0≤j<Y）：你已经达成目标，直接获胜。
• P(i,Y) = 0（对所有 0≤i<X）：朋友已经达成目标，你直接失败。

递推公式 #

和具体场景一样，每次同步抛硬币的4种情况整理后得到：

P(i,j) = [P(i+1,j+1) + P(i+1,j) + P(i,j+1)] / 3

计算方式 #

对于任意X和Y，我们可以通过动态规划从边界状态往回填充表格，计算出初始状态 P(0,0) 的值。

另外，也可以用求和表达式来表示：

P(X,Y) = Σ（从k=X到∞）[C(k-1,X-1)*(1/2)^k] * [Σ（从t=0到Y-1）C(k,t)*(1/2)^k]

这个无穷级数可以通过生成函数或数学软件计算，但对于较大的X和Y，动态规划的方法更直观高效。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者edward lami