非负整数集合等价性问询：同元素数、和与两两绝对差和的集合是否存在

嘿，咱们一步步拆解这个问题：给定由n个非负整数组成的集合A，满足元素个数为n、总和为s，两两绝对差之和为x，问是否存在另一个非负整数集合B满足同样的三个条件？

我们分情况来分析，核心看n的大小以及x对应的集合唯一性：

1. 当n=1时 #

集合里只能有一个元素，就是s本身——没有其他可能的集合能满足条件，所以不存在这样的B。

2. 当n=2时 #

假设A={a, b}（a≤b），总和s=a+b，两两绝对差之和x=b-a。任何满足总和为s的二元非负整数集合只能是{k, s-k}，它的绝对差之和是|2k - s|。要等于x=s-2a，只有k=a或k=b，也就是和A是同一个集合（集合不考虑顺序）。所以不存在这样的B。

3. 当n≥3时 #

这里要细分三种情况：

子情况3.1：x=0（所有元素相等） #

此时A的每个元素都是s/n（必须是整数，因为元素是非负整数）。任何满足x=0的集合必须所有元素相等——否则只要有两个元素不同，绝对差之和就大于0，而唯一的可能就是每个元素都是s/n，也就是和A完全相同。所以不存在这样的B。

子情况3.2：x是当前n和s下的最大值 #

x的最大值为s*(n-1)，对应的集合是n-1个0和1个s（或者n-1个s和1个0，但s=0时就是全0集合，属于子情况3.1）。
假设存在另一个集合B满足条件，那么B的两两绝对差之和也必须是s*(n-1)。只有当B也包含n-1个0和1个s时，才能达到这个最大值（任何其他元素分布都会让部分元素之间的差小于s，导致总和变小）。所以这种情况下不存在这样的B。

子情况3.3：x既不是0也不是最大值 #

这时候存在这样的集合B，我们可以通过调整A中的元素来构造：
比如，假设A中有至少两个不同的元素，且不是极端的n-1个0加1个s的情况。我们可以选择两个元素a和b（a < b），将a增加1，b减少1（保证调整后a+1≥0，b-1≥0——显然成立，因为b>a≥0所以b≥1），同时保持其他元素不变。

• 总和不变：a+1 + b-1 = a+b，整体总和还是s；
• 绝对差之和不变：虽然单个元素的差会变化，但整体的绝对差之和可以保持稳定（当x处于中间值时，必然存在至少两种不同的元素分布对应同一个x）。

举个实际例子：
n=3，s=6，x=6。A={1,1,4}的绝对差之和是0+3+3=6，我们可以构造B={0,3,3}，它的总和是0+3+3=6，绝对差之和是3+3+0=6，和A满足相同的条件，且是不同的集合。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Vishnu SR