证明群(G,+)是交换群当且仅当集合K是Gⁿ的子群

先明确已知条件：我们有群$(G, +)$，单位元为$e$，定义集合$K = {(x₁, ..., xₙ) \mid x₁ + x₂ + .... + xₙ = e} \subseteq Gⁿ$，其中$Gⁿ$的群运算为分量wise加法（记为$+{Gⁿ}$），即对任意$(a₁,...,aₙ),(b₁,...,bₙ)∈Gⁿ$，有$(a₁,...,aₙ)+{Gⁿ}(b₁,...,bₙ)=(a₁+b₁,...,aₙ+bₙ)$，逆元为$-(a₁,...,aₙ)=(-a₁,...,-aₙ)$。

我们分两部分完成证明：

一、必要性：若G是交换群，则K是Gⁿ的子群 #

要证明K是子群，我们用子群的判定准则：非空集合K对群运算的逆运算封闭（即任取$a,b∈K$，有$a +_{Gⁿ} (-b) ∈ K$）。

1. K非空：显然$(e,e,...,e)∈K$，因为$e+e+...+e=e$，满足K的定义。
2. 逆运算封闭性：
   任取$a=(a₁,a₂,...,aₙ)∈K$，$b=(b₁,b₂,...,bₙ)∈K$，根据K的定义：
   $$a₁+a₂+...+aₙ = e \tag{1}$$
   $$b₁+b₂+...+bₙ = e \tag{2}$$
   计算$a +{Gⁿ} (-b)$，得到元素$(a₁-b₁, a₂-b₂, ..., aₙ-bₙ)$（这里$x-y=x+(-y)$是群加法的减法表示）。
   现在计算该元素的分量和：
   $$(a₁-b₁)+(a₂-b₂)+...+(aₙ-bₙ)$$
   因为G是交换群，加法满足交换律和结合律，我们可以重新排列项的顺序：
   $$(a₁+a₂+...+aₙ) + (-b₁ -b₂ - ... -bₙ)$$
   代入(1)(2)的结果，注意到$-b₁-...-bₙ=-(b₁+...+bₙ)=-e=e$（群中单位元的逆元是自身），因此总和为：
   $$e + e = e$$
   这说明$a +{Gⁿ} (-b)∈K$。

根据子群判定定理，K是Gⁿ的子群。

二、充分性：若K是Gⁿ的子群，则G是交换群 #

我们需要证明G中任意两个元素$x,y∈G$满足$x+y=y+x$。

构造Gⁿ中的两个元素：

• $a=(x, y, -(x+y), e, e, ..., e)$：前三个分量为$x, y, -(x+y)$，后面$n-3$个分量均为$e$。显然$a∈K$，因为分量和为$x+y+(-(x+y))+e+...+e=e$；
• $b=(y, x, -(y+x), e, e, ..., e)$：前三个分量为$y, x, -(y+x)$，后面$n-3$个分量均为$e$。同理$b∈K$，分量和为$y+x+(-(y+x))+e+...+e=e$。

因为K是子群，所以$a +{Gⁿ} (-b) ∈ K$。计算这个元素：
$$a +{Gⁿ} (-b) = (x-y, y-x, -(x+y)+(y+x), e, ..., e)$$
根据K的定义，该元素的分量和必须等于$e$，因此：
$$(x-y) + (y-x) + [-(x+y)+(y+x)] + e+...+e = e$$
化简左边：

• $(x-y)+(y-x)=x-y+y-x=e$
• 剩余项为$[-(x+y)+(y+x)]=(y+x)-(x+y)$

因此左边整体为$e + (y+x)-(x+y) = e$，两边减去$e$（即加上$-e=e$），得到：
$$(y+x)-(x+y)=e$$
即$y+x = (x+y)+e = x+y$（群中单位元与任意元素相加不改变该元素）。

这就证明了G中任意两个元素满足交换律，即G是交换群。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Perturbative