如何证明真空引力平面波的极化张量具有横向性——郑大培教材公式推导疑问

我刚好对郑大培教授这本《相对论与引力》里的线性引力波推导很熟悉，帮你理清楚怎么用洛伦兹规范条件搞定那个让人头疼的迹项$h$，推导出公式(13.28)：

首先明确教材里的符号定义，避免混淆：

• 线性近似下的度规：$g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu}$，其中$\eta_{\mu\nu}$是闵氏度规，$h_{\mu\nu}$是小幅度度规扰动
• 迹项：$h = \eta^{\mu\nu}h_{\mu\nu}$（也就是扰动度规的迹）
• 洛伦兹规范条件(13.18)：$\partial^\mu h_{\mu\nu} - \frac{1}{2}\partial_\nu h = 0$，可以简化为 $\partial^\mu h_{\mu\nu} = \frac{1}{2}\partial_\nu h$

1. 写出线性化的里奇张量 #

教材里给出的线性化里奇张量表达式是：
$$R_{\mu\nu} = \frac{1}{2}\left(\partial_\mu\partial^\rho h_{\rho\nu} + \partial_\nu\partial^\rho h_{\rho\mu} - \partial_\mu\partial_\nu h - \square h_{\mu\nu}\right)$$
这里$\square = \eta^{\mu\nu}\partial_\mu\partial_\nu$是闵氏时空下的达朗贝尔算符。

2. 用洛伦兹规范消去交叉项 #

现在看里奇张量里的前两项$\partial_\mu\partial^\rho h_{\rho\nu}$和$\partial_\nu\partial^\rho h_{\rho\mu}$，这就是迹项$h$影响的地方——但我们可以直接用洛伦兹规范条件替换：

• 对于$\partial_\mu\partial^\rho h_{\rho\nu}$，根据规范条件$\partial^\rho h_{\rho\nu} = \frac{1}{2}\partial_\nu h$，代入后得到：
  $$\partial_\mu\partial^\rho h_{\rho\nu} = \partial_\mu\left(\frac{1}{2}\partial_\nu h\right) = \frac{1}{2}\partial_\mu\partial_\nu h$$
• 同理，$\partial_\nu\partial^\rho h_{\rho\mu} = \frac{1}{2}\partial_\nu\partial_\mu h = \frac{1}{2}\partial_\mu\partial_\nu h$（偏导数的顺序可以交换）

把这两个结果代回里奇张量：
$$R_{\mu\nu} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\partial_\mu\partial_\nu h + \frac{1}{2}\partial_\mu\partial_\nu h - \partial_\mu\partial_\nu h - \square h_{\mu\nu}\right)$$
括号里前两项相加等于$\partial_\mu\partial_\nu h$，再减去第三项$\partial_\mu\partial_\nu h$，直接抵消了！剩下的部分就非常简洁：
$$R_{\mu\nu} = -\frac{1}{2}\square h_{\mu\nu}$$

3. 计算里奇标量并代入爱因斯坦张量 #

接下来计算里奇标量$R = \eta^{\mu\nu}R_{\mu\nu}$，同样用洛伦兹规范简化：
$$R = \eta^{{\mu\nu}\cdot\frac{1}{2}\left(\partial_\mu\partial}\rho h_{\rho\nu} + \partial_\nu\partial^\rho h_{\rho\mu} - \partial_\mu\partial_\nu h - \square h_{\mu\nu}\right)$$
对前两项求和时，利用规范条件$\partial^\rho h_{\rho\mu} = \frac{1}{2}\partial_\mu h$，可以得到：
$$\eta^{{\mu\nu}\partial_\mu\partial}\rho h_{\rho\nu} = \partial^\rho\partial\mu h_{\rho\mu} = \partial^\rho\left(\frac{1}{2}\partial_\rho h\right) = \frac{1}{2}\square h$$
所以里奇标量最终简化为：
$$R = \frac{1}{2}\square h - \square h = -\frac{1}{2}\square h$$

然后代入爱因斯坦张量的定义$G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}\eta_{\mu\nu}R$：
$$G_{\mu\nu} = -\frac{1}{2}\square h_{\mu\nu} - \frac{1}{2}\eta_{\mu\nu}\left(-\frac{1}{2}\square h\right) = -\frac{1}{2}\square\left(h_{\mu\nu} - \frac{1}{2}\eta_{\mu\nu}h\right)$$

这里注意教材里定义的迹反转扰动$\bar{h}{\mu\nu} = h{\mu\nu} - \frac{1}{2}\eta_{\mu\nu}h$，把它代入后，爱因斯坦张量就变成：
$$G_{\mu\nu} = -\frac{1}{2}\square \bar{h}_{\mu\nu}$$

4. 结合爱因斯坦场方程得到公式(13.28) #

最后结合爱因斯坦场方程$G_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}$，两边同时乘以-2，就得到了教材里的公式(13.28)：
$$\square \bar{h}{\mu\nu} = -\frac{16\pi G}{c^4}T{\mu\nu}$$

小结：迹项$h$的处理技巧 #

洛伦兹规范条件的核心就是把$\partial^\mu h_{\mu\nu}$和$\partial_\nu h$绑定，让里奇张量里包含$h$的交叉偏导项直接抵消，最后通过迹反转扰动把$h$的影响整合到$\bar{h}_{\mu\nu}$中，彻底摆脱单独处理迹项的麻烦。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Keith