关于‘有趣数’的研究（二）：求所有‘极有趣数’的乘积及范围验证

首先我们先明确问题中的定义：

• 有趣除数：正整数$X$的除数，满足$1 < d < X$；
• 极有趣数：至少有两个有趣除数，且能被任意两个有趣除数的差整除的正整数。

步骤1：枚举并验证候选数 #

我们从较小的正整数开始逐一验证，找出满足条件的极有趣数：

• 6：有趣除数为2、3，两数差为1，6能被1整除，满足条件；
• 8：有趣除数为2、4，两数差为2，8能被2整除，满足条件；
• 12：有趣除数为2、3、4、6，任意两数的差为1、2、3、4，12均能被这些差整除，满足条件。

接下来我们检查更大的数：

• 素数幂（如16、27）：以16为例，有趣除数为2、4、8，其中8-2=6，16无法被6整除，不满足；奇素数的三次方（如27），差为9-3=6，27无法被6整除，排除；
• 双素因子乘积（如10、14）：以10为例，有趣除数为2、5，差为3，10无法被3整除，排除；
• 多素因子或高次幂组合（如18、24、30）：以24为例，有趣除数12与2的差为10，24无法被10整除，排除；30中6与2的差为4，30无法被4整除，排除。

步骤2：证明不存在超过1000的极有趣数 #

我们分情况讨论：

• 素数幂情况：只有$2^{3=8$满足条件，更高次的素数幂（如$2}4=16$）会出现无法整除的差（如6），奇素数幂则因差包含偶数因子而无法被奇数的幂整除；
• 双素因子幂组合：仅$2^{2×3=12$满足，其他组合（如$2}2×5=20$）会出现素因子间的差无法整除原数的情况；
• 三个及以上素因子的数：必然存在形如$pq$（两个素因子乘积）与$p$的差$p(q-1)$，原数包含第三个素因子$r>q$，而$q-1$无法整除$r$（$r$是素数且大于$q$），因此原数无法被该差整除。

综上，所有极有趣数均小于1000，你的数值实验结论成立。

所有极有趣数的乘积 #

将找到的极有趣数相乘：
6 × 8 × 12 = 576

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Victor