如何判断向量是否为特征值的特征向量？仿射变换点集求解

嘿，我来一步步帮你解决这两个问题，先从基础概念说起，再到具体的仿射变换案例～

核心就抓特征向量的定义：对于n阶矩阵$A$，如果存在一个非零向量$\vec{v}$和数$\lambda$，使得等式$A\vec{v} = \lambda\vec{v}$成立，那$\vec{v}$就是$A$对应特征值$\lambda$的特征向量。

具体判断步骤可以拆解为：

• 第一步：先确认向量$\vec{v}$不是零向量（零向量永远不能作为特征向量，这是定义里明确要求的）
• 第二步：计算矩阵$A$与向量$\vec{v}$的乘积$A\vec{v}$
• 第三步：检查计算结果是否等于$\lambda$乘以$\vec{v}$——也就是两个向量的每个分量都要对应相等

举个直观的小例子：假设矩阵$A=\begin{bmatrix}1&2\3&4\end{bmatrix}$，特征值$\lambda=5$，向量$\vec{v}=\begin{bmatrix}1\2\end{bmatrix}$。计算$A\vec{v}=\begin{bmatrix}5\11\end{bmatrix}$，而$5\vec{v}=\begin{bmatrix}5\10\end{bmatrix}$，两个向量分量不匹配，所以$\vec{v}$不是$\lambda=5$对应的特征向量。

已知仿射变换矩阵是$\begin{bmatrix} 3 & 4 & 8 \ -2 & -3 & 7 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$，其子矩阵$M=\begin{bmatrix} 3 & 4 \ -2 & -3 \end{bmatrix}$的特征值为1和-1，对应特征向量分别是$(-2,1)$和$(-1,1)$。现在要找满足$\overrightarrow{Pf(P)}=(2x+4y+8,-2x-4y+7)$是对应特征值1或-1的特征向量的点$P(x,y)$，咱们分两种情况来算：

情况1：判断$\overrightarrow{Pf(P)}$是否为$\lambda=1$的特征向量 #

根据定义，需要满足$M \cdot \overrightarrow{Pf(P)} = 1 \cdot \overrightarrow{Pf(P)}$，也就是$M\vec{v} - \vec{v} = 0$，可以改写为$(M - I)\vec{v} = 0$（这里$I$是2阶单位矩阵）。

首先计算$M - I$：
$$M - I = \begin{bmatrix}3-1 & 4 \ -2 & -3-1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2 & 4 \ -2 & -4\end{bmatrix}$$

把$\overrightarrow{Pf(P)}=(2x+4y+8,-2x-4y+7)$代入，计算$(M - I)\overrightarrow{Pf(P)}$：
$$\begin{bmatrix}2 & 4 \ -2 & -4\end{bmatrix} \begin{bmatrix}2x+4y+8 \ -2x-4y+7\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2*(2x+4y+8) + 4*(-2x-4y+7) \ -2*(2x+4y+8) -4*(-2x-4y+7)\end{bmatrix}$$

展开后化简每个分量：

• 第一个分量：$4x+8y+16 -8x-16y+28 = -4x-8y+44$
• 第二个分量：$-4x-8y-16 +8x+16y-28 = 4x+8y-44$

令这两个分量都等于0，会发现两个方程其实是等价的，化简后得到：$x + 2y = 11$。

还要确认$\overrightarrow{Pf(P)}$不是零向量：当$x+2y=11$时，代入$\overrightarrow{Pf(P)}$得$(30, -15)$，明显是非零向量，符合要求。所以所有在直线$x + 2y = 11$上的点$P(x,y)$都满足这一条件。

情况2：判断$\overrightarrow{Pf(P)}$是否为$\lambda=-1$的特征向量 #

同样依据定义，需要满足$M \cdot \overrightarrow{Pf(P)} = -1 \cdot \overrightarrow{Pf(P)}$，也就是$M\vec{v} + \vec{v} = 0$，即$(M + I)\vec{v} = 0$。

先计算$M + I$：
$$M + I = \begin{bmatrix}3+1 & 4 \ -2 & -3+1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}4 & 4 \ -2 & -2\end{bmatrix}$$

代入$\overrightarrow{Pf(P)}$计算：
$$\begin{bmatrix}4 & 4 \ -2 & -2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}2x+4y+8 \ -2x-4y+7\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}4*(2x+4y+8) +4*(-2x-4y+7) \ -2*(2x+4y+8) -2*(-2x-4y+7)\end{bmatrix}$$

展开后得到：

• 第一个分量：$8x+16y+32 -8x-16y+28 = 60$
• 第二个分量：$-4x-8y-16 +4x+8y-14 = -30$

这两个结果分别是60和-30，不可能等于0，所以不存在这样的点P使得$\overrightarrow{Pf(P)}$是$\lambda=-1$对应的特征向量。

最终结论 #

满足条件的点$P(x,y)$是所有落在直线$x + 2y = 11$上的点。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者John Keeper