连续自映射下像的基本群是否为原空间基本群的子群？

好问题！这个结论看起来直觉上可能成立，但实际上是不成立的，咱们可以通过几个反例来明确这一点。

首先得澄清一下：当我们说“空间Y的基本群是空间X的基本群的子群”，这里的准确含义是“π₁(Y)同构于π₁(X)的某个子群”——毕竟两个群本身可能不是同一个集合，所谓“子群”实际是指存在单同态嵌入。

反例1：欧氏平面到夏威夷耳环的映射 #

取X=ℝ²（二维欧氏平面），它的基本群π₁(X)是平凡群（只有单位元）。现在构造一个连续映射f:ℝ²→ℝ²，使得f的像Y是夏威夷耳环（Hawaiian earring）：也就是所有圆心在(1/n, 0)、半径为1/n的圆周的并集（n≥1），再加上原点(0,0)。

夏威夷耳环的基本群π₁(Y)是一个非常复杂的不可数非平凡群——它不是自由群，甚至无法被有限或可数个生成元生成。显然，这个非平凡群不可能同构于平凡群π₁(X)的任何子群（因为平凡群只有一个子群，就是它自己）。这直接推翻了原结论。

反例2：无限圆楔和到夏威夷耳环的映射 #

取X为无限多个圆周的一点并（楔和）∨_{n=1}^∞ S¹，它的基本群π₁(X)是可数生成自由群F(∞)。根据尼尔森-施赖埃尔定理，自由群的所有子群都是自由群。

我们可以构造连续映射f:X→X，把X中的第n个圆周映射到夏威夷耳环H的第n个圆周，这样f的像Y就是H。如前所述，π₁(H)不是自由群，因此它不可能同构于π₁(X)=F(∞)的任何子群（毕竟F(∞)的子群全是自由群）。这再次证明原结论不成立。

为什么直觉会出错？ #

你可能会觉得，包含映射i:Y→X诱导的同态i₁:π₁(Y)→π₁(X)会把π₁(Y)变成π₁(X)的子群，但实际上这个同态不一定是单射——甚至π₁(Y)的结构可能根本无法嵌入到π₁(X)中，就像上面的例子一样。只有当Y是X的形变收缩核（或者更弱的同伦等价子空间）时，i₁才会是单射甚至同构，但一般的连续像并不满足这个条件。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user67803