求映射f的逆函数g在点(0,1)处的导数Dg(0,1)

嘿，我来帮你拆解这个问题！首先先纠正一个小笔误：你写的$Df(x,y)$里，第一行的第二个元素应该是$-2y$（因为对$y$求偏导$x^2-y2$得到的是$-2y$，不是$2y$），正确的雅可比矩阵是：
$$Df(x,y)=\begin{bmatrix}2x & -2y\2y &2x \end{bmatrix}$$

接下来回到你的核心问题：不需要求$g$的完整显式表达式，就能算出$Dg(0,1)$，下面给你两种实用方法：

方法一：解方程定位$g(0,1)$ #

要找$g(0,1)$，本质就是找$(a,b)$使得$f(a,b)=(0,1)$，也就是解下面的方程组：

• $a^2 - b^2 = 0$
• $2ab = 1$

从第一个方程得$a^2 = b^2$，也就是$a = b$或者$a = -b$：

• 如果$a=-b$，代入第二个方程会得到$-2a^2=1$，实数范围内无解（左边是负数，右边是正数）；
• 如果$a=b$，代入第二个方程得$2a^2=1$，解得$a=b=\frac{\sqrt{2}}{2}$（因为$2ab=1>0$，所以$a$和$b$同号，取正根）。

所以$g(0,1)=(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$，接下来代入$Df$得到：
$$Df\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\begin{bmatrix}\sqrt{2} & -\sqrt{2}\\sqrt{2} &\sqrt{2} \end{bmatrix}$$

然后求这个二阶矩阵的逆矩阵：对于矩阵$\begin{bmatrix}p & q\r & s \end{bmatrix}$，逆矩阵公式是$\frac{1}{ps-qr}\begin{bmatrix}s & -q\-r & p \end{bmatrix}$。这里行列式是$\sqrt{2}\sqrt{2} - (-\sqrt{2})\sqrt{2}=2+2=4$，所以逆矩阵为：
$$\frac{1}{4}\begin{bmatrix}\sqrt{2} & \sqrt{2}\-\sqrt{2} &\sqrt{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{\sqrt{2}}{4} & \frac{\sqrt{2}}{4}\-\frac{\sqrt{2}}{4} &\frac{\sqrt{2}}{4} \end{bmatrix}$$
这就是$Dg(0,1)$。

方法二：利用复数映射的几何意义（更简便） #

其实这个映射$f$本质上就是复数的平方运算：把平面上的点$(x,y)$对应复数$z=x+yi$，那么$f(x,y)$对应的复数就是$z^2=(x+yi)2=x^2-y2+2xyi$，完美匹配$f$的定义。

那逆函数$g$对应的就是复数的平方根运算，找$g(0,1)$就是找复数$w=a+bi$使得$w^{2=0+1i$（也就是$w}2=i$）。

根据复数的极坐标形式，$i=e^{{i\pi/2}$，它的平方根是$e}{i\pi/4}$和$e^{i5\pi/4}$，对应的实数对就是：

• $e^{i\pi/4}=(\cos\frac{\pi}{4},\sin\frac{\pi}{4})=(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$
• $e^{i5\pi/4}=(\cos\frac{5\pi}{4},\sin\frac{5\pi}{4})=(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})$

因为$f$在第一象限附近是局部可逆的，我们取正根$(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$，和方法一结果一致。接下来求导数的话，复数导数里$z^2$的导数是$2z$，所以逆函数的导数是$\frac{1}{2w}$，转换成线性变换矩阵就是上面得到的结果，步骤更简洁。

关于是否需要求$g$的显式表达式 #

完全没必要！你只需要找到满足$f(a,b)=(0,1)$的$(a,b)$就足够计算$Dg(0,1)$了。不过如果一定要写出$g$的显式表达式，也可以推导：

对于任意$(u,v)$，由$(x^2-y2)^2+(2xy)2=(x^2+y2)^{2$，可得$x}2+y^2=\sqrt{u2+v^{2}$，联立$x}2-y^2=u$，解得：

• $x^{2=\frac{\sqrt{u}2+v^{2}+u}{2}$，$y}2=\frac{\sqrt{u^2+v2}-u}{2}$

然后根据$v$的符号确定$x$和$y$的符号：

• 若$v>0$，则$x$和$y$同号；
• 若$v<0$，则$x$和$y$异号。

比如当$v>0$时，$g(u,v)=\left(\sqrt{\frac{\sqrt{u^2+v2}+u}{2}},\sqrt{\frac{\sqrt{u^2+v2}-u}{2}}\right)$（也可以取负根，取决于逆函数的分支），但这个表达式很繁琐，对求解$Dg(0,1)$来说完全是多余的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Nash