$\mathbb{R}^2$上矩形生成的σ-代数与乘积Borelσ-代数等价性问询

咱们来一步步拆解这个问题：我们要判断$\mathbb{R}^2$上由所有形如$R := [a, \infty) \times (b, \infty)$（$a,b \in \mathbb{R}$）的右上无界矩形生成的σ-代数$\sigma(R)$，是否等于$\mathbb{R}^2$的乘积Borelσ-代数$\mathcal{B}{\mathbb{R}} \otimes \mathcal{B}{\mathbb{R}}$（已知$\mathcal{B}{\mathbb{R}^2} = \mathcal{B}{\mathbb{R}} \otimes \mathcal{B}_{\mathbb{R}}$，所以本质是问$\sigma(R)$是否等于二维Borelσ-代数）。

核心思路：双向包含证明 #

要证明两个σ-代数相等，最直接的方法就是证明它们互相包含。

第一步：$\sigma(R) \subseteq \mathcal{B}{\mathbb{R}} \otimes \mathcal{B}{\mathbb{R}}$

你看，$\sigma(R)$的每个生成元$[a, \infty) \times (b, \infty)$都是两个一维Borel可测集的乘积：$[a, \infty) \in \mathcal{B}{\mathbb{R}}$，$(b, \infty) \in \mathcal{B}{\mathbb{R}}$。而乘积Borelσ-代数$\mathcal{B}{\mathbb{R}} \otimes \mathcal{B}{\mathbb{R}}$的定义就是由所有这样的可测矩形生成的σ-代数，所以每个生成元都属于$\mathcal{B}{\mathbb{R}} \otimes \mathcal{B}{\mathbb{R}}$。

又因为σ-代数对可数交、可数并、补运算封闭，所以$\sigma(R)$作为这些生成元生成的最小σ-代数，自然包含在$\mathcal{B}{\mathbb{R}} \otimes \mathcal{B}{\mathbb{R}}$里。

第二步：$\mathcal{B}{\mathbb{R}} \otimes \mathcal{B}{\mathbb{R}} \subseteq \sigma(R)$

这一步的关键是：证明乘积σ-代数的所有生成元（即任意形如$A \times B$，$A,B \in \mathcal{B}_{\mathbb{R}}$的可测矩形）都属于$\sigma(R)$。

首先回忆一个关键结论：一维Borelσ-代数$\mathcal{B}_{\mathbb{R}}$可以由形如$[c, \infty)$的右上无界射线生成，也可以由它的补集$(-\infty, c)$生成。我们可以用$\sigma(R)$里的集合构造出这些一维集的乘积：

• 先构造$\mathbb{R} \times [b, \infty)$：它等于$\bigcup_{n=1}^\infty [-n, \infty) \times [b, \infty)$，而每个$[-n, \infty) \times [b, \infty)$都是$\sigma(R)$的生成元，可数并运算封闭，所以$\mathbb{R} \times [b, \infty) \in \sigma(R)$。同理，$[a, \infty) \times \mathbb{R} \in \sigma(R)$。
• 再构造$(-\infty, a) \times (-\infty, b)$：它是$\mathbb{R}^2$减去$[a, \infty) \times \mathbb{R}$与$\mathbb{R} \times [b, \infty)$的并集，即：
  $$(-\infty, a) \times (-\infty, b) = \mathbb{R}^2 \setminus \left( [a, \infty) \times \mathbb{R} \cup \mathbb{R} \times [b, \infty) \right)$$
  因为σ-代数对补运算和并运算封闭，所以这个集合也属于$\sigma(R)$。

现在，所有一维Borel集$A,B$都可以通过$[c, \infty)$和$(-\infty, d)$这类集合的可数交、并、补得到，它们的乘积$A \times B$自然也可以通过$\sigma(R)$中已有集合的同样运算得到，而这些运算在σ-代数里都是封闭的。因此，所有可测矩形都属于$\sigma(R)$，进而$\mathcal{B}{\mathbb{R}} \otimes \mathcal{B}{\mathbb{R}}$（作为可测矩形生成的σ-代数）包含在$\sigma(R)$里。

结论 #

通过双向包含的证明，我们可以确定：
$$\sigma(R) = \mathcal{B}{\mathbb{R}} \otimes \mathcal{B}{\mathbb{R}}$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Fianra