求双射函数$F:\mathbb{P}_2 \rightarrow \mathbb{R}^3$的逆函数及验证

咱们一步步来解决这个问题，先理清基础概念，再推导逆映射规则，最后完成验证：

首先明确逆映射的基本属性：

• 原函数$F$是从二次多项式空间$\mathbb{P}_2$到三维实向量空间$\mathbb{R}^{3$**的双射，所以它的逆映射$F}{-1}$的定义域是$\mathbb{R}^3$**，陪域是$\mathbb{P}_2$。

推导$F^{-1}$的映射规则 #

我们先设定变量对应关系：

• 任取一个二次多项式$p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2 \in \mathbb{P}_2$，它在$F$下的像为$(b_0, b_1, b_2) \in \mathbb{R}^3$。

根据$F$的映射规则，我们可以得到如下方程组：
$$
\begin{cases}
b_0 = a_0 \
b_1 = a_0 + a_2 \
b_2 = a_0 + 3a_1 + 4a_2
\end{cases}
$$

接下来我们要把多项式的系数$a_0, a_1, a_2$用$\mathbb{R}^3$中的坐标$b_0, b_1, b_2$表示出来：

1. 第一个方程直接给出：$a_0 = b_0$
2. 将$a_0 = b_0$代入第二个方程，解得$x^2$项的系数：$a_2 = b_1 - a_0 = b_1 - b_0$
3. 把$a_0$和$a_2$代入第三个方程，解$x$项的系数$a_1$：
   $$
   b_2 = b_0 + 3a_1 + 4(b_1 - b_0)
   $$
   整理等式右侧：
   $$
   b_2 = 3a_1 + b_0 +4b_1 -4b_0 = 3a_1 -3b_0 +4b_1
   $$
   移项后解出$a_1$：
   $$
   3a_1 = b_2 +3b_0 -4b_1 \implies a_1 = b_0 - \frac{4}{3}b_1 + \frac{1}{3}b_2
   $$

现在，逆映射$F^{{-1}$就是把$\mathbb{R}}3$中的$(b_0,b_1,b_2)$映射回$\mathbb{P}_2$中的二次多项式，代入上面得到的系数表达式，最终的映射规则为：
$$
F^{-1}(b_0,b_1,b_2)(x) = b_0 + \left(b_0 - \frac{4}{3}b_1 + \frac{1}{3}b_2\right)x + (b_1 - b_0)x^2
$$
如果想整理成按$b_0,b_1,b_2$分组的形式，也可以写成：
$$
F^{-1}(b_0,b_1,b_2)(x) = b_0(1 + x - x^2) + b_1\left(-\frac{4}{3}x + x^2\right) + b_2\left(\frac{1}{3}x\right)
$$

验证$F^{-1}(F(p)) = p(x)$ #

现在我们要验证，对任意$p(x)\in\mathbb{P}_2$，经过$F$再$F^{-1}$的映射后，能回到原多项式。

首先，$F(p)=(a_0, a_0+a_2, a_0+3a_1+4a_2)$，我们把这个结果代入$F^{-1}$中，也就是令：
$b_0 = a_0$，$b_1 = a_0+a_2$，$b_2 = a_0+3a_1+4a_2$

分别计算逆映射后的各项系数：

• 常数项：$a_0' = b_0 = a_0$
• $x^2$项系数：$a_2' = b_1 - b_0 = (a_0+a_2) - a_0 = a_2$
• $x$项系数：$a_1' = b_0 - \frac{4}{3}b_1 + \frac{1}{3}b_2$，代入$b_0,b_1,b_2$的表达式：
  $$
  a_1' = a_0 - \frac{4}{3}(a_0+a_2) + \frac{1}{3}(a_0+3a_1+4a_2)
  $$
  展开并合并同类项：
  $$
  = a_0 - \frac{4}{3}a_0 - \frac{4}{3}a_2 + \frac{1}{3}a_0 + a_1 + \frac{4}{3}a_2
  $$
  可以看到，$a_0$的项合并后为$a_0 - \frac{4}{3}a_0 + \frac{1}{3}a_0 = 0$，$a_2$的项合并后为$-\frac{4}{3}a_2 + \frac{4}{3}a_2 = 0$，最后剩下$a_1$。

所以，逆映射后的多项式为：
$$
F^{-1}(F(p))(x) = a_0' +a_1'x +a_2'x^2 = a_0 +a_1x +a_2x^2 = p(x)
$$
完全符合要求，验证成功。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Brandon O'Neil