$\mathbb{R} \to \mathbb{R}$中等价关系基数：能否用CSB证明为$2^\mathfrak{c}$？

当然可以用Cantor-Schröder-Bernstein（CSB）定理来证明这个结论！我们只需要分别构造两个方向的单射，再应用CSB定理即可。下面一步步拆解：

第一步：明确核心概念 #

首先，$\mathbb{R}$上的等价关系是满足自反性、对称性、传递性的二元关系，本质上是$\mathbb{R} \times \mathbb{R}$的子集。我们用$\mathcal{E}$表示所有$\mathbb{R}$上等价关系的集合，目标是证明$|\mathcal{E}| = 2^\mathfrak{c}$（其中$\mathfrak{c} = |\mathbb{R}|$）。

第二步：证明$|\mathcal{E}| \leq 2^\mathfrak{c}$ #

每个等价关系都是$\mathbb{R} \times \mathbb{R}$的子集，因此$\mathcal{E} \subseteq \mathcal{P}(\mathbb{R} \times \mathbb{R})$（$\mathcal{P}(X)$表示集合$X$的幂集）。

已知$|\mathbb{R} \times \mathbb{R}| = \mathfrak{c}$（$\mathbb{R}$与$\mathbb{R} \times \mathbb{R}$等势），而幂集的基数是$2^{|X|}$，所以$|\mathcal{P}(\mathbb{R} \times \mathbb{R})| = 2^\mathfrak{c}$。

这意味着存在自然单射$g: \mathcal{E} \to \mathcal{P}(\mathbb{R} \times \mathbb{R})$（将每个等价关系直接映射为自身作为$\mathbb{R} \times \mathbb{R}$的子集），因此$|\mathcal{E}| \leq 2^\mathfrak{c}$。

第三步：证明$|\mathcal{E}| \geq 2^\mathfrak{c}$ #

我们需要构造一个从$\mathcal{P}(\mathbb{R} \setminus {0})$到$\mathcal{E}$的单射（因为$|\mathcal{P}(\mathbb{R} \setminus {0})| = 2^\mathfrak{c}$）。

具体构造方法如下：

• 对于任意子集$S \subseteq \mathbb{R} \setminus {0}$，定义对应的等价关系$\sim_S$：
  • 若$x = y$，则$x \sim_S y$（满足自反性）；
  • 若$x = 0$且$y \in S$，或者$y = 0$且$x \in S$，则$x \sim_S y$；
  • 其他情况下，$x$仅与自身等价。

验证$\sim_S$是等价关系：

1. 自反性：显然对所有$x \in \mathbb{R}$，$x \sim_S x$；
2. 对称性：如果$x \sim_S y$，要么$x=y$，要么一方是0另一方在$S$中，反过来也成立，所以$y \sim_S x$；
3. 传递性：假设$x \sim_S y$且$y \sim_S z$，若$x=y$或$y=z$，显然$x \sim_S z$；若$x=0, y \in S$且$y \sim_S z$，则$z$要么等于$y$（等价）要么等于0（等价），传递性成立。

证明映射$f: S \mapsto \sim_S$是单射：
假设$S_1 \neq S_2$，不妨设存在$a \in S_1 \setminus S_2$。在$\sim_{S_1}$中，$0 \sim_{S_1} a$；但在$\sim_{S_2}$中，$0$和$a$不等价（因为$a \notin S_2$），因此$\sim_{S_1} \neq \sim_{S_2}$，即$f$是单射。

这说明$|\mathcal{E}| \geq |\mathcal{P}(\mathbb{R} \setminus {0})| = 2^\mathfrak{c}$。

第四步：应用CSB定理收尾 #

根据Cantor-Schröder-Bernstein定理：若存在单射$f: A \to B$和$g: B \to A$，则$|A| = |B|$。

这里我们已有：

• 单射$f: \mathcal{P}(\mathbb{R} \setminus {0}) \to \mathcal{E}$（证明$|\mathcal{E}| \geq 2^\mathfrak{c}$）；
• 单射$g: \mathcal{E} \to \mathcal{P}(\mathbb{R} \times \mathbb{R})$（证明$|\mathcal{E}| \leq 2^\mathfrak{c}$）；

而$|\mathcal{P}(\mathbb{R} \setminus {0})| = |\mathcal{P}(\mathbb{R} \times \mathbb{R})| = 2^\mathfrak{c}$，因此$|\mathcal{E}| = 2^\mathfrak{c}$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Galush Balush