$\mathbb R^n$向量不等式成立条件及任意α>0时的有效性问询

针对你提出的两个问题，我来一步步拆解分析：

问题1：不等式成立的条件 #

首先，我们先简化不等式左边的项。注意到$(x_i + y_i)(x_j + y_j)$是向量$x+y$的外积矩阵的第$(i,j)$项，根据柯西不等式，它的绝对值满足：
$$|(x_i + y_i)(x_j + y_j)| \leq |x+y|^2$$
因此不等式左边的绝对值可以被控制为：
$$(1+ |x+y|²⁾{\alpha}|(x_i + y_i)(x_j + y_j)| \leq (1+ |x+y|²⁾{\alpha}|x+y|^2$$

接下来分两种极端情况讨论：

• 当$|x+y| \to \infty$时：左边的量级近似为$|x+y|^{2\alpha + 2}$，而右边是$\frac{C}{(|x|+|y|)^2}$，由于$|x|+|y| \geq |x+y|$，右边的量级不超过$\frac{C}{|x+y|^2}$。要让左边被右边控制，必须满足$2\alpha + 2 \leq -2$，也就是$\alpha \leq -2$。此时左边的量级为$|x+y|^{2(\alpha+1)} \leq |x+y|^{{-2}$，而右边$\frac{C}{(|x|+|y|)}2} \geq \frac{C}{(2|x+y|)^2} = \frac{C}{4|x+y|^2}$，取$C=4$就能满足不等式。
• 当$|x+y|$有界（包括$x+y=0$的情况）：左边是有界的（比如$|x+y| \leq 1$时，左边$\leq (1+1)^\alpha \cdot 1 = 2^\alpha$），而右边当$|x|+|y|$趋近于0时趋向无穷大，显然成立；当$|x|+|y|$有界时，右边也是有界的，只要取$C$足够大就能覆盖左边的上界。

综上，当且仅当$\boldsymbol{\alpha \leq -2}$时，存在常数$C>0$，使得原不等式对任意$i,j$以及任意$\mathbb{R}^n$中的向量$x,y$恒成立。

问题2：任意$\alpha>0$时是否存在这样的$C$ #

答案是否定的，我们可以通过构造反例来证明：

取$x=y=t e_i$，其中$e_i$是$\mathbb{R}^n$中的第$i$个标准基向量，$t>0$。此时$x+y=2t e_i$，代入不等式左边得：
$$(1+ |2t e_i|²⁾{\alpha}(2t)(2t) = 4t^2(1+4t2)^\alpha$$
右边为：
$$\frac{C}{(|t e_i| + |t e_i|)^2} = \frac{C}{4t^2}$$

当$t \to \infty$时，左边的量级近似为$4^{\alpha+1}t{2\alpha+2}$，会随着$t$的增大趋向无穷大；而右边的量级是$\frac{C}{4t^2}$，会趋向0。无论$C$取多大，只要$t$足够大，左边一定会大于右边，因此不存在这样的常数$C$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Polo