组合数学：3枚骰子投掷中恰好两枚点数相同的组合数疑问求解

我们先把问题掰明白：投掷3枚骰子，恰好两枚点数相同的结果数（这里的“组合数”实际是指考虑骰子顺序的排列数，毕竟正确答案是90）。

正确的计算逻辑 #

要算出恰好两枚相同的结果，我们可以分三步拆解：

• 第一步：确定哪两枚骰子点数相同。从3枚里选2枚，有C(3,2)=3种选法（比如第1和第2枚、第1和第3枚、第2和第3枚）。
• 第二步：给这两枚相同的骰子选点数，1到6共6种选择。
• 第三步：给第三枚骰子选不同的点数，不能和前两枚重复，所以有5种选择。

把这三步的数量相乘：3 × 6 × 5 = 90，这就是正确答案。

你的计算错在哪里？ #

你用6×6×5=180的思路，核心问题是没精准限定“恰好两枚相同”的条件，结果既多算了不符合的情况，又漏掉了部分符合的情况，最终巧合地是正确值的两倍：

1. 多算了「三个点数全不同」的情况：当第一次和第二次点数不同时（比如1和2），你让第三次选5种“不同点数”——这里你可能误解了“不同”的范围，如果第三次选3-6里的任意一个，就变成了三个点数全不同（比如1、2、3），这完全不属于“恰好两枚相同”的范畴。这类无效情况总共有6×5×4=120种。
2. 漏掉了「第三次和第二次相同、但和第一次不同」的情况：你限定了第三次要选“和前两次不同的点数”，但如果第一次是1、第二次是2、第三次是2，这明显属于恰好两枚相同（第2和第3枚相同），但这种情况被你的规则排除了，这类有效情况有6×5×1=30种。

把你的结果修正一下：180 - 120（全不同的无效情况） + 30（漏掉的有效情况）= 90，就得到了正确答案。

另外补充一点：如果题目真的问的是不考虑骰子顺序的组合数（比如把(1,1,2)、(1,2,1)、(2,1,1)算成同一种），那结果是6×5=30，但显然题目里的“组合数”指的是考虑顺序的排列数，所以正确答案是90。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者C.Holing