求有理函数两条平行切线的距离及曲线切线参数条件

曲线C的方程为$y=\frac{2x-5}{x-1}$

a) 求切线$y=mx+c$中$c$关于$m$的表达式 #

先把直线方程和曲线方程联立，消去$y$得到：
$$mx + c = \frac{2x-5}{x-1}$$
两边同乘$(x-1)$（注意$x≠1$，这是曲线的垂直渐近线），整理成标准一元二次方程形式：
$$mx^2 + (c-m-2)x -c+5=0$$
因为切线与曲线仅有一个交点，所以这个一元二次方程的判别式必须为0（这里要注意：当$m=0$时方程退化为一次方程，此时直线是水平线，和曲线相交于一点但不是切线，所以我们只考虑$m≠0$的情况，后续也能看到*$m>0$*）。

计算判别式$\Delta=0$：
$$c^2 +(2m-4)c +m^2 -16m+4=0$$
接下来对式子进行配方处理，把含$c$的项凑成完全平方：
$$(c+m-2)^2-(m-2)2+(m-8)^2-64+4=0$$
化简后得到更简洁的等式：
$$(c+m-2)^2 = 12m$$
对等式两边开平方，解出$c$关于$m$的表达式：
$$c = 2-m\pm\sqrt{12m}$$
这里根号内的$12m$必须非负，因此*$m>0$*，这也和曲线导数的取值范围一致（曲线的导数恒正，所以切线斜率都是正数）。

b) 求两条平行切线之间的距离 #

由a)的结果可知，对于同一个斜率$m$（$m>0$），曲线有两条平行的切线，对应的截距分别是：
$$c_1 = 2-m+\sqrt{12m}, \quad c_2 = 2-m-\sqrt{12m}$$
两条平行线$y=mx+c_1$和$y=mx+c_2$之间的距离公式是：
$$d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{m^2 + 1}}$$
代入$c_1$和$c_2$的差值：
$$|c_1 - c_2| = \left|(2-m+\sqrt{12m}) - (2-m-\sqrt{12m})\right| = 2\sqrt{12m} = 4\sqrt{3m}$$
因此，两条平行切线之间的距离为：
$$d = \frac{4\sqrt{3m}}{\sqrt{m^2 + 1}}$$
我们也可以用导数法验证这个结果：先对曲线求导，$y=\frac{2x-5}{x-1}=2-\frac{3}{x-1}$，导数$y'=\frac{3}{(x-1)^{2}$，这就是切线的斜率$m$，即$m=\frac{3}{(x-1)}2}$，解得切点的横坐标为$x=1\pm\sqrt{\frac{3}{m}}$，代入曲线求出纵坐标后写出切线方程，最终计算出的距离和上面的结果完全一致。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Inquirer