证明独立同分布随机变量的条件期望等式$E[X_i|S_n ] = \frac{S_n}{n}$

已知$X_1, X_2, ..., X_n$是期望有限的独立同分布（iid）随机变量，定义$S_n = \sum_{k=1}^n X_k$，我们需要严格推导对任意$1 \leq i \leq n$，$E[X_i|S_n] = \frac{S_n}{n}$。你提到的核心疑问是如何严谨证明$E[X_i|S_n] = E[X_j|S_n]$，下面一步步来：

关键步骤：证明$E[X_i|S_n] = E[X_j|S_n]$（几乎处处） #

我们从条件期望的定义和iid的置换不变性入手：

1. 置换不变性分析
   考虑交换第$i$和$j$个变量的置换$\sigma$：$\sigma(i)=j$，$\sigma(j)=i$，对$k \neq i,j$有$\sigma(k)=k$。由于$X_1,...,X_n$是iid的，随机向量$(X_1,...,X_n)$和$(X_{\sigma(1)},...,X_{\sigma(n)})$同分布。
   同时，$S_n = \sum_{k=1}^n X_k = \sum_{k=1}^n X_{\sigma(k)}$，即$S_n$在置换$\sigma$下完全不变。

2. 利用条件期望的定义推导相等性
   条件期望$E[X_i|S_n]$是唯一的$\sigma(S_n)$-可测随机变量，满足对任意$\sigma(S_n)$-可测集合$B$，有：
   $$E\left[ X_i \cdot I_B \right] = E\left[ E[X_i|S_n] \cdot I_B \right]$$
   其中$I_B$是集合$B$的指示函数。

   由于$(X_1,...,X_n)$和$(X_{\sigma(1)},...,X_{\sigma(n)})$同分布，且$B$是$\sigma(S_n)$-可测的（$S_n$置换不变，所以$I_B$也置换不变），因此：
   $$E\left[ X_i \cdot I_B \right] = E\left[ X_{\sigma(i)} \cdot I_B \circ \sigma \right] = E\left[ X_j \cdot I_B \right]$$

   对应到条件期望的等式，就有：
   $$E\left[ E[X_i|S_n] \cdot I_B \right] = E\left[ E[X_j|S_n] \cdot I_B \right]$$

   因为上式对所有$\sigma(S_n)$-可测集合$B$都成立，且$E[X_i|S_n]$、$E[X_j|S_n]$都是$\sigma(S_n)$-可测的，根据条件期望的唯一性，我们可以得出：
   $$E[X_i|S_n] = E[X_j|S_n] \quad \text{几乎处处成立}$$

完成最终推导 #

有了上面的结论，结合条件期望的线性性，我们可以快速完成证明：

对$S_n = \sum_{k=1}^n X_k$两边取关于$\sigma(S_n)$的条件期望：
$$E[S_n|S_n] = \sum_{k=1}^n E[X_k|S_n]$$

左边$E[S_n|S_n] = S_n$（因为$S_n$是自身生成的$\sigma$-域可测的），右边每个$E[X_k|S_n]$都相等，设为$Y$，则：
$$S_n = nY$$

两边除以$n$，直接得到：
$$E[X_i|S_n] = \frac{S_n}{n} \quad \text{几乎处处成立}$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者anktsdmcknsy