如何计算正向围道|z|=2上的复积分∫_c (e^(az)/cosh(z))dz？

作为复积分初学者，我们可以用留数定理来解决这个围道积分问题，这是处理闭合围道积分最常用的方法之一。下面一步步来拆解：

被积函数是$f(z)=\frac{e^{{az}}{\cosh(z)}$，奇点出现在$\cosh(z)=0$的位置。回忆双曲余弦的定义：$\cosh(z)=\frac{e}z + e^{-z}}{2}$，令其等于0：
$$e^z + e^{-z}=0 \implies e^{2z}=-1$$
解这个方程，我们得到$2z=i\pi(2n+1)$（$n$为整数），即：
$$z=\frac{i\pi(2n+1)}{2}, \quad n\in\mathbb{Z}$$

接下来看哪些奇点在围道$c:|z|=2$内部：

• 当$n=0$时，$z=\frac{i\pi}{2}\approx1.57i$，模长$\approx1.57<2$，在围道内；
• 当$n=-1$时，$z=-\frac{i\pi}{2}\approx-1.57i$，模长$\approx1.57<2$，在围道内；
• 当$|n|\geq1$时，比如$n=1$，$z=\frac{3i\pi}{2}\approx4.71i$，模长$\approx4.71>2$，在围道外；同理$n=-2$等也在围道外。

所以围道内只有两个奇点：$z_1=\frac{i\pi}{2}$和$z_2=-\frac{i\pi}{2}$。

对于解析函数$f(z)=\frac{g(z)}{h(z)}$，如果$h(z_0)=0$且$h'(z_0)\neq0$，那么$z_0$是一阶极点，留数公式为：
$$\text{Res}(f,z_0)=\frac{g(z_0)}{h'(z_0)}$$

这里$g(z)=e^{az}$，$h(z)=\cosh(z)$，$h'(z)=\sinh(z)$，所以：

• 对于$z_1=\frac{i\pi}{2}$：
  $\sinh\left(\frac{i\pi}{2}\right)=i\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=i$（因为$\sinh(ix)=i\sin x$），所以：
  $$\text{Res}(f,z_1)=\frac{e^{{a\cdot\frac{i\pi}{2}}}{\sinh\left(\frac{i\pi}{2}\right)}=\frac{e}{i\frac{a\pi}{2}}}{i}=-i e^{i\frac{a\pi}{2}}$$
  （注：$\frac{1}{i}=-i$，因为$i\cdot(-i)=1$）

• 对于$z_2=-\frac{i\pi}{2}$：
  $\sinh\left(-\frac{i\pi}{2}\right)=-i\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=-i$，所以：
  $$\text{Res}(f,z_2)=\frac{e^{{a\cdot\left(-\frac{i\pi}{2}\right)}}{\sinh\left(-\frac{i\pi}{2}\right)}=\frac{e}{-i\frac{a\pi}{2}}}{-i}=i e^{-i\frac{a\pi}{2}}$$

留数定理告诉我们：正向闭合围道上的积分等于$2\pi i$乘以围道内所有奇点留数的和，即：
$$\int_c f(z)dz=2\pi i \cdot \left(\text{Res}(f,z_1)+\text{Res}(f,z_2)\right)$$

现在计算留数之和：
$$\text{Res}(f,z_1)+\text{Res}(f,z_2)=-i e^{i\frac{a\pi}{2}} + i e^{{-i\frac{a\pi}{2}}=i\left(e}{-i\frac{a\pi}{2}}-e^{i\frac{a\pi}{2}}\right)$$

利用欧拉公式$e^{ix}-e{-ix}=2i\sin x$，可得$e^{-ix}-e{ix}=-2i\sin x$，代入上式：
$$i\left(-2i\sin\left(\frac{a\pi}{2}\right)\right)=-2i^2\sin\left(\frac{a\pi}{2}\right)=2\sin\left(\frac{a\pi}{2}\right)$$
（因为$i^2=-1$）

最后代入留数定理：
$$\int_c \frac{e^{az}}{\cosh(z)}dz=2\pi i \cdot 2\sin\left(\frac{a\pi}{2}\right)=4\pi i \sin\left(\frac{a\pi}{2}\right)$$

如果用级数展开的方式，我们可以把$\frac{1}{\cosh(z)}$展开成洛朗级数：
$$\frac{1}{\cosh(z)}=2\sum_{n=0}^\infty (-1)^n e^{-(2n+1)z}, \quad \text{Re}(z)>0$$
不过对于闭合围道积分，直接逐项积分的话需要考虑收敛性，而留数定理显然更简洁直接。当然，如果你想从级数角度推导，也可以尝试将被积函数展开后逐项积分，最终结果应该和我们用留数定理得到的一致。

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