求P(∑₁²⁰Xᵢ>15)的上界（Xᵢ~Poisson(1)，不使用中心极限定理）

下面给你几个不用中心极限定理的经典概率不等式思路，这些方法都适合处理独立随机变量和的概率界问题：

• 马尔可夫不等式（最基础的上界）
  因为泊松变量都是非负的，它们的和 ( Y = \sum_{i=1}^{20}X_i ) 也是非负随机变量。根据马尔可夫不等式：

  ( P(Y > a) \leq \frac{E[Y]}{a} )
  这里 ( E[Y] = 20 \times 1 = 20 )，( a=15 )，代入得：
  ( P(Y>15) \leq \frac{20}{15} \approx 1.333 )
  这个上界非常宽松（概率不可能大于1，实际等于1），仅作为入门思路，没有实用价值。

• 单侧切比雪夫不等式（比马尔可夫更紧）
  先计算 ( Y ) 的方差：因为 ( X_i ) 独立，( Var(Y) = 20 \times Var(X_i) = 20 \times 1 = 20 )。
  如果你实际需求是 ( P(Y \leq 15) ) 的上界（结合你提到的CLT得到0.025，大概率是问题方向笔误），可以用单侧切比雪夫不等式：

  ( P(Y < E[Y] - k) \leq \frac{Var(Y)}{Var(Y) + k^2} )
  代入 ( k=20-15=5 ) 得：
  ( P(Y \leq15) \leq \frac{20}{20 + 5^2} = \frac{20}{45} \approx 0.444 )
  对应的 ( P(Y>15) \geq 1 - 0.444 = 0.556 )，不过这是下界；若你确实要 ( P(Y>15) ) 的上界，它的天然上界就是1。

• 切尔诺夫界（最实用的紧上界）
  切尔诺夫界是处理独立随机变量和的概率界的利器，尤其适合指数族分布（比如泊松分布）。核心思路是用指数函数的马尔可夫不等式：
  对任意实数 ( t )，有：

  ( P(Y \leq a) \leq \frac{E[e^{tY}]}{e{ta}} )（当 ( t<0 ) 时用于求下侧概率上界）
  因为 ( X_i ) 独立，所以 ( E[e^{tY}] = \prod_{i=1}^{20}E[e{tX_i}] )。对于 ( X_i \sim Poisson(1) )，其矩生成函数是 ( E[e^{tX_i}] = e^{et - 1} )，因此：
  ( E[e^{tY}] = \left(e^{et - 1}\right)^{20} = e^{20(et - 1)} )
  代入不等式得：
  ( P(Y \leq15) \leq e^{20(et - 1) - 15t} )
  我们可以通过求导找到最小化右侧表达式的 ( t ) 值：令 ( f(t) = 20(e^t - 1) -15t )，求导得 ( f'(t) = 20e^t -15 )，令导数为0，解得 ( t = \ln\left(\frac{15}{20}\right) \approx -0.2877 )。
  代入t值计算得 ( f(\ln0.75) \approx -0.6845 )，因此 ( P(Y\leq15) \leq e^{-0.6845} \approx 0.504 )，这是比切比雪夫更紧的上界；对应的 ( P(Y>15) \geq 0.496 )。

• 泊松分布的直接累积分布（精确值参考）
  由于独立泊松变量的和仍然是泊松分布，( Y \sim Poisson(20) )，你可以直接计算精确值：( P(Y>15)=1-\sum_{k=0}^{15}\frac{e{-20}20^k}{k!} \approx 0.868 )，所以 ( P(Y>15) ) 的上界1是显然的；而 ( P(Y\leq15) \approx 0.132 )，你提到的CLT得到的0.025更可能是 ( P(Y<11) ) 这类更远离期望的概率界。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者iam_agf