求解GL(V)不可约表示L_λ上元素g的特征标技术问询

这其实是表示论里Schur-Weyl对偶的经典应用场景，我来一步步给你梳理推导思路：

先明确已知背景 #

• 我们知道$S_n \times GL(V)$在$V^{\otimes n}$上有自然的联合作用，根据Schur-Weyl对偶的核心结论，$V^{\otimes n}$可以分解为不可约表示的张量积直和：
  $$V^{\otimes n} = \bigoplus_{\lambda} W_\lambda \otimes L_\lambda$$
  这里$W_\lambda$是对称群$S_n$的Specht模（不可约表示），$L_\lambda$是$GL(V)$的不可约表示（也叫Schur模），其中$\lambda$遍历所有$n$的分划，且分划的部分数不超过$\dim V = N$（不然对应的$L_\lambda$是零表示，不用考虑）。

核心思路：通过迹的双重计算建立关联 #

我们的目标是求$g \in GL(V)$在$L_\lambda$上的特征标$\chi_{L_\lambda}(g) = Tr_{L_\lambda}(g)$，参考思路里提到的计算$Tr_{V^{\otimes n}}(g^{\otimes n} s)$（$s \in S_n$）是关键——这个迹可以从两个角度计算，从而建立起我们需要的等式。

角度1：从$V^{\otimes n}$的分解出发计算迹 #

根据特征标的基本性质：直和的迹等于各部分迹的和，张量积的迹等于各因子迹的乘积。所以我们有：
$$Tr_{V^{\otimes n}}(g^{\otimes n} s) = \sum_{\lambda} Tr_{W_\lambda}(s) \cdot Tr_{L_\lambda}(g)$$
这里$Tr_{W_\lambda}(s)$就是Specht模$W_\lambda$在$s$处的特征标，通常记为$\chi^\lambda(s)$。

角度2：直接计算$Tr_{V^{\otimes n}}(g^{\otimes n} s)$ #

先看$s \in S_n$的循环型：设$s$可以分解为$\mu_1$-循环、$\mu_2$-循环、...、$\mu_k$-循环的乘积（互不相交），对应的循环型为$\mu = (\mu_1, \mu_2, ..., \mu_k)$，显然$\sum_{i=1}^k \mu_i = n$。

对于$g^{\otimes n} s$在$V^{\otimes n}$上的作用，它先通过$s$置换张量因子的位置，再对每个因子作用$g$。计算这个算子的迹时，只有那些在$s$作用下位置不变的张量（或者说在每个循环里的张量因子取值相同的元素）才会贡献迹，最终可以得到：
$$Tr_{V^{\otimes n}}(g^{\otimes n} s) = \prod_{i=1}^k Tr_V(g^{\mu_i})$$
而$Tr_V(g^{{\mu_i})$就是$g}{\mu_i}$在$V$上的迹，也就是$\sum_{j=1}^N x_j^{\mu_i}$（$x_1,...,x_N$是$g$的特征值）。代入后就有：
$$Tr_{V^{\otimes n}}(g^{\otimes n} s) = \prod_{i=1}^k \left( \sum_{j=1}^N x_j^{\mu_i} \right)$$

解出目标特征标$\chi_{L_\lambda}(g)$ #

现在我们有了一个关于$\chi_{L_\lambda}(g)$的线性方程组：
$$\sum_{\lambda} \chi^\lambda(s) \cdot \chi_{L_\lambda}(g) = \prod_{i=1}^k \left( \sum_{j=1}^N x_j^{\mu_i} \right)$$
其中$s$取遍$S_n$的所有共轭类（每个共轭类对应唯一的循环型$\mu$）。

因为对称群的特征标矩阵是正交矩阵，我们可以利用特征标的正交性来反解$\chi_{L_\lambda}(g)$。用共轭类的形式来写（设$C_\mu$是循环型为$\mu$的共轭类，$|C_\mu|$是该类的元素个数），公式为：
$$\chi_{L_\lambda}(g) = \frac{1}{n!} \sum_{\mu} |C_\mu| \cdot \chi^\lambda(C_\mu) \cdot \prod_{i=1}^k \left( \sum_{j=1}^N x_j^{\mu_i} \right)$$

简化：对应到Schur多项式 #

实际上，这个$\chi_{L_\lambda}(g)$就是Schur多项式$s_\lambda(x_1,...,x_N)$！Schur多项式有多种等价定义，上面的求和式就是其中一种（通过对称群特征标的定义），另外也可以用更直观的行列式公式（Jacobi-Trudi公式）来表示：
$$s_\lambda(x_1,...,x_N) = \frac{\det\left( x_i^{\lambda_j + N - j} \right){1 \leq i,j \leq N}}{\prod{1 \leq i < j \leq N} (x_i - x_j)}$$
分母是Vandermonde行列式，分子是一个类似的行列式，这样计算起来会更直接，尤其是当$N$和分划$\lambda$的规模不大的时候。

总结一下：$g$在$L_\lambda$上的特征标，就是分划$\lambda$对应的Schur多项式在$g$的特征值$x_1,...,x_N$处的取值。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user236626