三轮全向机器人倾角轮的行进距离计算技术问询

嘿，这个问题我在做三轮全向轮机器人原型的时候刚好研究过，给你一步步拆解清楚：

首先得明确全向轮的核心逻辑：全向轮只能在自身滚动方向提供动力/传递运动，垂直于滚动方向的位移靠辊子滑动完成。所以机器人的移动距离，等于车轮滚动距离在机器人移动方向上的投影（反过来也成立）。

假设你的三轮全向轮满足：

• 相邻车轮的滚动方向与正前方的夹角差60°（比如三个轮子的夹角分别是0°、60°、120°，均以正前方为参照）
• 某一个车轮滚动了x英尺

那推导过程很直接：

• 设机器人前进的距离为D，该车轮的滚动方向与正前方的夹角为α（α可以是0°、60°或120°，取决于你测量的是哪个轮子）
• 车轮的滚动距离x，等于机器人前进距离D在车轮滚动方向上的投影，也就是：x = D * cos(α)
• 反过来解出机器人前进距离：D = x / cos(α)

举个实际例子：

• 如果测的是和正前方夹角60°的轮子，cos(60°)=0.5，所以D = x / 0.5 = 2x
• 如果测的是和正前方完全同向的轮子（α=0°），cos(0°)=1，所以D = x
• 如果测的是夹角120°的轮子，cos(120°)=-0.5，这里负号表示轮子反向滚动，实际前进距离还是|D| = 2x

当机器人要往任意方向（和正前方夹角y°）移动时，同样用向量投影的思路，只是机器人的移动方向不再是正X轴了：

1. 先定义坐标系：正前方为X轴，机器人中心为原点，目标移动方向与X轴夹角为y°，机器人移动的总距离为D。此时机器人的位移向量可以表示为(D*cos(y), D*sin(y))。

2. 对每个车轮来说，设它的滚动方向与X轴的夹角为α_i（比如三个轮子的α_i分别是0°、60°、120°，和问题1的设定一致）。

3. 车轮的滚动距离x_i，等于机器人位移向量在车轮滚动方向上的投影长度。用向量点积公式可以推导：

   x_i = D * cos(y - α_i)
   

   这里用到了余弦差公式：cos(A-B) = cosA*cosB + sinA*sinB，本质就是位移向量和车轮滚动方向向量的点积除以向量长度。

4. 反过来解机器人的行进距离D：

   D = x_i / cos(y - α_i)
   

验证小技巧 #

因为三个轮子的运动是同步的，所以用任意一个轮子的x_i计算出来的D都应该一致。比如你可以同时记录三个轮子的滚动距离，代入公式后如果结果接近，就说明推导和测量都没问题。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者M-R