利用诺特基本定理证明代数曲线域论结论的技术问询

题目回顾 #

设$k$为域（可能非代数闭域），$F\in k[x,y,z]$是不可约齐次多项式，$X:=V(F)\subset\mathbb{P}_k^2$。若$z\in k(X)$在$V(F)$的每个点$P$处都有定义，证明$z\in k$。（简写表述：利用诺特基本定理证明$k[X]\simeq k$）

我的初步思路 #

一开始我就想到，函数域$k(X)$里的元素都能写成同次数齐次多项式的商，所以先设$z=\frac{H}{G}$，其中$H,G\in k[x,y,z]$是同次齐次多项式，并且$G$在$X$的所有非零点上都不为零。接下来就需要用诺特基本定理把这个局部表示提升到全局，进而推出$H$和$G$都是常数。

完整证明（基于诺特基本定理） #

首先明确诺特基本定理的核心内容：对于不可约射影代数集$X\subset\mathbb{P}^n_k$，任何在$X$所有点都有定义的有理函数$f\in k(X)$，都可以表示为同次数齐次多项式的商$f=\frac{A}{B}$，其中$B$在$X$上处处不为零（也就是$V(I(X),B)=\emptyset$）。

把这个定理用到我们的问题上：

1. 已知$z\in k(X)$在$X$的每个点都有定义，根据诺特基本定理，存在同次数的齐次多项式$H,G\in k[x,y,z]$，使得$z=\frac{H}{G}$在$X$上处处成立，并且$G$在$X$上没有零点（即$V(F,G)=\emptyset$）。
2. 这里可以用贝祖定理辅助推导：在射影空间$\mathbb{P}^2$中，若两条正次数的射影曲线没有交点，这与贝祖定理矛盾（贝祖定理指出，两条次数分别为$d_1,d_2$的射影曲线，交点个数计重数为$d_1d_2$，不可能为空）。而$F$是不可约齐次多项式，对应次数$\geq1$的射影曲线$X$，所以$G$的次数只能是0——也就是$G$是$k$中的非零常数。
3. 因为$H$和$G$是同次齐次多项式，$G$次数为0意味着$H$也是$k$中的非零常数，因此$z=\frac{H}{G}$就是$k$中的元素，命题得证。

如果不用贝祖定理，也可以用代数方法推导：
因为$V(F,G)=\emptyset$，根据射影零点定理，存在整数$m>0$使得$(x,y,z)^{m\subset(F,G)$。取$x}m\in(F,G)$，则存在齐次多项式$A,B$满足$A F + B G = x^m$。设$\deg G=d$，则$\deg B=m-d$。
又因为$z=\frac{H}{G}$在$X$上成立，所以$H=z G$在$k(X)$中，代入上式得：
$$x^m = A F + B G \implies z x^m = z A F + z B G = z A F + B H$$
由于$F$在$X$上恒为零，$z A F$在$X$上也是零，因此$z x^m = B H$在$X$上成立。如果$d>0$，那么$\deg(B H)=(m-d)+d=m$，但$G$是正次数多项式，$V(G)$是射影曲线，与$V(F)$无交点的话，和射影空间中曲线的相交性矛盾，因此$d$必须为0，即$G$是常数，$H$也是常数，$z\in k$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者rmdmc89