如何基于哈密顿形式路径积分，通过高斯积分推导费曼路径积分拉格朗日形式？

没问题，我来一步步带你完成这个推导——这是路径积分量子力学里最基础的核心步骤，本质就是用高斯积分把动量自由度给“积分掉”，只留下位置路径的积分。

步骤1：代入二次哈密顿量 #

首先把标准二次哈密顿量 $\mathcal H(x,p)=\frac{p^2}{2m} +V(x)$ 代入到哈密顿形式的路径积分中：
$$
\langle x|\hat U(t_2,t_1)|x'\rangle=\int \mathcal Dx \mathcal Dp \ e^{\frac i {\hbar} \int_{t_1}^{t_2} dt \ \big(p(t) \dot{x}(t) - \frac{p(t)^2}{2m} - V(x(t))\big)}
$$
我们可以把指数项拆成两部分：和动量$p(t)$相关的项，以及只和位置$x(t)$相关的项，这样就能把动量路径积分单独分离出来：
$$
\langle x|\hat U(t_2,t_1)|x'\rangle=\int \mathcal Dx \ e^{-\frac i {\hbar} \int_{t_1}^{t_2} V(x(t)) dt} \ \left[ \int \mathcal Dp \ e^{\frac i {\hbar} \int_{t_1}^{t_2} dt \ \big(p(t) \dot{x}(t) - \frac{p(t)^2}{2m}\big)} \right]
$$
现在括号里的部分就是我们需要重点处理的动量路径积分，它和位置路径$x(t)$无关，可以单独计算。

步骤2：对动量路径做高斯积分 #

路径积分$\int \mathcal Dp$的本质是：在连续时间极限下，对每个时刻$t\in[t_1,t_2]$的动量变量$p(t)$做积分的乘积。而指数里的动量相关项是关于$p(t)$的二次函数，正好可以用高斯积分公式：
$$
\int_{-\infty}^{\infty} dp \ e^{-\alpha p^2 + \beta p} = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} \ e^{\frac{\beta2}{4\alpha}}
$$
先把动量部分的指数整理成标准二次形式：
$$
\frac i {\hbar} \int_{t_1}^{t_2} dt \ \big(p(t) \dot{x}(t) - \frac{p(t)^2}{2m}\big) = \int_{t_1}^{t_2} dt \ \left( -\frac{i}{2m\hbar} p(t)^2 + \frac{i\dot{x}(t)}{\hbar} p(t) \right)
$$
对应高斯积分公式的参数：

• $\alpha = \frac{i}{2m\hbar}$
• $\beta = \frac{i\dot{x}(t)}{\hbar}$

将参数代入高斯积分公式，计算单个时刻$t$的积分结果，再对所有时刻的积分乘积起来（也就是路径积分$\int \mathcal Dp$的结果）：
首先计算指数部分的结果：
$$
\frac{\beta^2}{4\alpha} = \frac{\left( \frac{i\dot{x}(t)}{\hbar} \right)^2}{4 \times \frac{i}{2m\hbar}} = \frac{ -\dot{x}(t)^2/\hbar2 }{ \frac{2i}{m\hbar} } = \frac{ -m \dot{x}(t)^2 }{ 2i\hbar } = \frac{ i m \dot{x}(t)^2 }{ 2\hbar }
$$
把这个结果代入指数，再对时间积分，就得到动量路径积分的指数部分：
$$
e^{\int_{t_1}{t_2} \frac{i m \dot{x}(t)^2}{2\hbar} dt} = e^{\frac{i}{\hbar} \int_{t_1}^{t_2} \frac{m \dot{x}(t)^2}{2} dt}
$$
而高斯积分带来的归一化常数（也就是$\prod_t \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}$），通常会被吸收到位置路径积分的测度$\mathcal Dx$的定义里，所以我们不用单独处理它。

步骤3：得到拉格朗日形式的路径积分 #

把上面的结果整合回去，原来的位置路径积分的指数就变成了经典拉格朗日量的积分：
$$
\frac{i}{\hbar} \int_{t_1}^{t_2} \left( \frac{m \dot{x}(t)^2}{2} - V(x(t)) \right) dt
$$
其中$\mathcal L(x,\dot{x}) = \frac{m \dot{x}^2}{2} - V(x)$就是单粒子的经典拉格朗日量。

最终我们就得到了费曼路径积分的拉格朗日形式：
$$
\langle x|\hat U(t_2,t_1)|x'\rangle=\int \mathcal Dx \ e^{\frac i {\hbar} \int_{t_1}^{t_2} \mathcal L(x(t),\dot{x}(t)) dt}
$$

关键总结 #

• 整个推导的核心是利用高斯积分消去动量自由度，因为哈密顿量中的动量项是二次型，完美匹配高斯积分的适用条件。
• 路径积分中的动量路径可以拆分为每个时刻的独立积分，这是因为$\mathcal Dp$在连续极限下就是所有时刻动量变量的乘积测度。
• 高斯积分的归一化常数被吸收到$\mathcal Dx$中，让最终表达式只保留位置路径的积分。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Sahand Tabatabaei