质点角动量定义及同一坐标系下O'点角动量的求解问询

嘿，咱们一步步来搞定这个推导，先把已知的基础定义摆清楚：

在笛卡尔坐标系$OXYZ$中，质点相对于原点$O$的角动量$\textbf{L}$定义为：
$$\textbf{L} = \textbf{r}_O \times \textbf{p}$$
其中质点的动量$\textbf{p} = m \frac{d\textbf{r}_O}{dt}$，$\textbf{r}_O$是质点相对于$O$点的位置矢量。

第一步：定义各位置与速度矢量 #

首先咱们明确几个关键矢量：

• 设$\textbf{R}(t)$为O'点相对于原点O的位置矢量（O'可以是固定点，也可以是随时间运动的点）
• 设$\textbf{r}_{O'}(t)$为质点相对于O'点的位置矢量

根据矢量叠加原理，质点相对于O点的位置矢量满足：
$$\textbf{r}O(t) = \textbf{R}(t) + \textbf{r}{O'}(t)$$

对时间求导得到速度关系：
$$\frac{d\textbf{r}O}{dt} = \frac{d\textbf{R}}{dt} + \frac{d\textbf{r}{O'}}{dt}$$
这里$\textbf{v}{O'} = \frac{d\textbf{R}}{dt}$是O'点相对于O的速度，$\textbf{v}{rel} = \frac{d\textbf{r}{O'}}{dt}$是质点相对于O'的速度，所以质点的动量可以写成：
$$\textbf{p} = m\left(\textbf{v}{O'} + \textbf{v}_{rel}\right)$$

第二步：写出相对于O'的角动量定义 #

角动量的核心定义是「相对于参考点的位置矢量叉乘质点动量」，所以质点相对于O'的角动量$\textbf{L}{O'}$为：
$$\textbf{L}{O'} = \textbf{r}_{O'} \times \textbf{p}$$

第三步：展开推导完整表达式 #

咱们有两种推导方向，都能得到完整结果：

方向一：用原点O的角动量$\textbf{L}$表示

从位置矢量关系变形得到$\textbf{r}{O'} = \textbf{r}O - \textbf{R}$，代入$\textbf{L}{O'}$的定义：
$$\textbf{L}{O'} = (\textbf{r}O - \textbf{R}) \times \textbf{p}$$
根据叉乘的分配律展开：
$$\textbf{L}{O'} = \textbf{r}_O \times \textbf{p} - \textbf{R} \times \textbf{p}$$
而$\textbf{r}O \times \textbf{p}$就是已知的相对于O点的角动量$\textbf{L}$，所以最终表达式为：
$$\textbf{L}{O'} = \textbf{L} - \textbf{R} \times \textbf{p}$$

方向二：用相对速度表示

把动量$\textbf{p} = m\left(\textbf{v}{O'} + \textbf{v}{rel}\right)$代入$\textbf{L}{O'}$的定义：
$$\textbf{L}{O'} = \textbf{r}{O'} \times m\left(\textbf{v}{O'} + \textbf{v}{rel}\right)$$
展开后得到：
$$\textbf{L}{O'} = m\textbf{r}{O'} \times \textbf{v}{O'} + m\textbf{r}{O'} \times \textbf{v}{rel}$$
这里：

• 第二项$m\textbf{r}{O'} \times \textbf{v}{rel}$是质点相对于O'点的“固有”角动量（当O'静止时，$\textbf{v}_{O'}=0$，这就是全部角动量）
• 第一项$m\textbf{r}{O'} \times \textbf{v}{O'}$是由于O'点运动带来的附加角动量

特殊情况验证 #

如果O'是固定点（$\textbf{v}{O'}=0$，$\textbf{R}$为常矢量），那么$\textbf{p}=m\textbf{v}{rel}$，此时：
$$\textbf{L}{O'} = m\textbf{r}{O'} \times \textbf{v}{rel}$$
同时代入$\textbf{L} = (\textbf{R} + \textbf{r}{O'}) \times m\textbf{v}{rel} = \textbf{R} \times \textbf{p} + \textbf{L}{O'}$，和方向一的结果完全一致，说明推导是自洽的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者rainman