关于$\Bbb{F}_{p^r}$构成$\Bbb{F}_p$代数闭包的解释及$\Bbb Q_p$定义咨询

嘿，我来帮你把这两个概念理清楚，刚好都是代数/数论里很重要的基础点：

首先得回忆一下：$\Bbb{F}_{p^{r}$是**特征为p的有限域**，元素个数是$p}r$个，其中r是任意正整数。而一个域的代数闭包，指的是包含这个域所有代数元的“最大”域——换句话说，任何系数在原域里的多项式，在代数闭包里都能完全分解成一次因式的乘积。

那为什么所有$\Bbb{F}_{p^r}$的并集就是$\Bbb{F}_p$的代数闭包呢？可以从两个角度理解：

• 一方面，任何一个系数在$\Bbb{F}p$里的多项式，它的根一定落在某个$\Bbb{F}{p^{r}$里（比如r是这个多项式分裂域的次数，分裂域肯定是$\Bbb{F}_p$的有限扩张，而$\Bbb{F}_p$的有限扩张都是$\Bbb{F}_{p}r}$的形式）。所以所有代数元都被包含在这些有限域的并集里了。
• 另一方面，把所有$\Bbb{F}_{p^{r}$并起来之后，这个集合本身是一个域：任意两个元素都能找到一个更大的$\Bbb{F}_{p}s}$（s取两个元素所在域的次数的公倍数）包含它们，所以加减乘除运算都封闭，满足域的所有公理。

这个代数闭包通常记为$\overline{\Bbb{F}}p$，有时候也写成$\Bbb{F}{p^\infty}$，你可以把它看成是“无限次扩张”的有限域。

既然你已经了解$\Bbb Z_p$（p-adic整数），那$\Bbb Q_p$就很好理解了——它是$\Bbb Z_p$的分式域，类比我们熟悉的有理数$\Bbb Q$是整数$\Bbb Z$的分式域一样。

具体来说：

• $\Bbb Z_p$是$\Bbb Z$关于p-adic拓扑的完备化，元素可以表示成无限级数$\sum_{n=0}^\infty a_n p^n$，其中每个$a_n$是0到p-1之间的整数，这个级数在p-adic绝对值下是收敛的。
• 而$\Bbb Q_p$里的元素，就是所有形如$\frac{x}{p^k}$的数，其中$x \in \Bbb Z_p$，k是任意整数（正、负、零都可以）。换一种写法，$\Bbb Q_p$的元素可以表示为$\sum_{n=m}^\infty a_n p^n$，这里m是某个整数（可以是负数），并且$a_m \neq 0$——你可以把它看成是“允许有p的负幂次”的p-adic整数。

简单说，$\Bbb Z_p$像是p-adic版本的“整数”，而$\Bbb Q_p$就是p-adic版本的“有理数”，它是$\Bbb Z_p$的域扩张，也是$\Bbb Q$关于p-adic绝对值的完备化。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Skies burn