$\mathbb{F}_p$上二次多项式解数公式证明及非互质情形解数问询
咱们一步一步来拆解这个问题，先搞定n和p互素的情况，再分析n被p整除的场景～
首先得纠正个小笔误：你写的式子应该是用Legendre符号$\left(\frac{m^2 - 4nk}{p}\right)$，而不是$\frac{n^2 -4mk}{p}$哦，毕竟Legendre符号的取值是-1、0、1，刚好对应解数的三种情况。接下来咱们用配方+Legendre符号来证明：
因为$\gcd(n,p)=1$，说明n在有限域$\mathbb{F}_p$里是可逆的，我们可以对原方程配方：
$$nx^2 + mx + k \equiv 0 \pmod{p}$$
两边乘以$4n$（4和奇素数p互素，n可逆，所以乘这个数不改变方程的解），得到：
$$4n2x2 + 4nmx + 4nk \equiv 0 \pmod{p}$$
左边可以凑成完全平方：
$$(2nx + m)^2 - (m^2 - 4nk) \equiv 0 \pmod{p}$$
令$y = 2nx + m$，因为n可逆，x和y是一一对应的（给定y，就能算出唯一的$x \equiv (y - m) \cdot (2n)^{-1} \pmod{p}$），所以原方程的解数等于方程$y^2 \equiv D \pmod{p}$的解数，其中$D = m^2 - 4nk$（这就是二次方程的判别式）。
接下来根据Legendre符号的定义分析解数：
- 若$D \equiv 0 \pmod{p}$：此时$y^2 \equiv 0$只有$y \equiv 0$一个解，对应唯一的x，解数为1。而$\left(\frac{D}{p}\right)=0$，所以$1 + \left(\frac{D}{p}\right)=1$，符合。
- 若$D$是模p的二次剩余（即$\left(\frac{D}{p}\right)=1$）：此时$y^2 \equiv D$有两个不同的解，对应两个不同的x，解数为2，即$1 + 1=2$，符合。
- 若$D$是模p的非二次剩余（即$\left(\frac{D}{p}\right)=-1$）：此时$y^2 \equiv D$无解，原方程解数为0，即$1 + (-1)=0$，符合。
至于你提到的二次互反律，它的作用是简化判别式D的Legendre符号计算。比如当D是较大的数时，我们可以用二次互反律转换符号：比如p=11，D=5，因为11≡1 mod 4，所以$\left(\frac{5}{11}\right)=\left(\frac{11}{5}\right)=\left(\frac{1}{5}\right)=1$，快速得出5是11的二次剩余，进而知道原方程有2个解。
因为p是奇素数，$\gcd(n,p)≠1$意味着$n \equiv 0 \pmod{p}$，原方程退化为一次方程（或常数方程）：
$$mx + k \equiv 0 \pmod{p}$$
分三种情况讨论：
- 若$m \equiv 0 \pmod{p}$且$k \equiv 0 \pmod{p}$：方程变为$0 \equiv 0 \pmod{p}$，$\mathbb{F}_p$中所有元素都是解，解数为p。
- 若$m \equiv 0 \pmod{p}$且$k \not\equiv 0 \pmod{p}$：方程变为$k \equiv 0 \pmod{p}$，矛盾，解数为0。
- 若$m \not\equiv 0 \pmod{p}$：m在$\mathbb{F}_p$中可逆，方程有唯一解$x \equiv -k \cdot m^{-1} \pmod{p}$，解数为1。
内容的提问来源于stack exchange，提问作者user7802048
