DEALA 3E教材1.5节第11题：含y项的积分因子法解微分方程疑问

嘿，咱们一步步来解决这个问题！这是《DEALA》第3版1.5节的第11题对吧？你说现在只学了积分因子法，看到方程右边有$y$就卡壳了——其实这个方程整理之后，既可以用分离变量法解，也能用你学的积分因子法搞定，我两种方法都给你讲清楚～

原方程是：
$x\frac{dy}{dx} + y = 3xy$

先把含$y$的项移到右侧，提取公因子$y$：

$x\frac{dy}{dx} = 3xy - y$
$x\frac{dy}{dx} = (3x - 1)y$

首先注意到，当$y=0$时，代入原方程两边都等于0，是成立的，而且刚好符合初始条件$y(1)=0$，这其实就是一个解。我们完整推导一遍：

当$y \neq 0$时，两边同时除以$xy$（初始点$x=1≠0$，所以可以做这个操作），把变量分离：
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{3x - 1}{x}$
拆分成更易积分的形式：
$\frac{dy}{y} = \left(3 - \frac{1}{x}\right)dx$

接下来两边积分：

$\int \frac{1}{y} dy = \int \left(3 - \frac{1}{x}\right)dx$
积分后得到：$\ln|y| = 3x - \ln|x| + C$（$C$是任意积分常数）
合并对数项：$\ln|xy| = 3x + C$
两边取指数消去对数：$|xy| = e^{3x + C} = e^C e^{3x}$
令$K = \pm e^C$（$K$为非零常数），整理得：$y = \frac{K e^{3x}}{x}$

代入初始条件$y(1)=0$：
$0 = \frac{K e^3}{1}$，解得$K=0$，回到$y=0$的情况。所以最终解为$\boldsymbol{y=0}$。

我们把原方程整理成一阶线性微分方程的标准形式$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$：

原方程移项后除以$x$：
$\frac{dy}{dx} + \left(\frac{1}{x} - 3\right)y = 0$

这里$P(x) = \frac{1}{x} - 3$，$Q(x)=0$（属于齐次线性方程），计算积分因子$\mu(x)$：
$\mu(x) = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \left(\frac{1}{x} - 3\right)dx}$
计算积分：$\int \left(\frac{1}{x} - 3\right)dx = \ln|x| - 3x + C_0$，所以$\mu(x) = |x|e^{-3x}$。因为初始条件$x=1>0$，取$x>0$的情况，$\mu(x) = x e^{-3x}$。

把积分因子乘到标准方程两边：
$x e^{-3x} \frac{dy}{dx} + x e^{-3x} \left(\frac{1}{x} - 3\right)y = 0$
左边是乘积的导数：$\frac{d}{dx}\left(y \cdot x e^{-3x}\right) = 0$

两边积分：

$\int \frac{d}{dx}\left(y \cdot x e^{-3x}\right) dx = \int 0 dx$
得到：$y \cdot x e^{-3x} = C$（$C$为任意常数）
整理得：$y = \frac{C e^{3x}}{x}$

代入初始条件$y(1)=0$，解得$C=0$，最终解还是$\boldsymbol{y=0}$。

你写的$\frac{x}{3x-1}\frac{1}{dx} = \frac{y}{dy}$这一步是变量分离搞反啦，正确的分离应该是把含$y$的项放左边，含$x$的项放右边，也就是$\frac{dy}{y} = \frac{3x-1}{x}dx$，这样积分才是对的哦～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者gm9089zo